Cómo puedo entender esta contradicción de $H^{-s}(\Omega)$

Question

Esto me hace perplejo. Aquí le damos el espacio de sobolev $H^{k}(\Omega)$ $W_p^k(\Omega)$ $p=2$.

Todos sabemos que $H^{k}(\Omega)$ es el espacio de Hilbert, es decir que $(H^k(\Omega))^{*}=H^{-k}(\Omega)$ debe ser $H^{k}(\Omega)$ sí mismo del teorema de representación de Risez.

Sin embargo, sabemos que Dirac $\delta$-función $\delta\in W^{k}_p(\Omega)$ si $k0$. Se trata de una contradicción, causa allí son algunos $k$ tal que $\delta\in H^{-k}(\Omega)$ $\delta\notin H^{k}(\Omega)$.

¿Qué ocurre con mi declaración anterior?

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Hace un tiempo, yo estaba perplejo por esto mismo.

La aparente contradicción se resuelve señalando que este es un problema de la elección de la derecha "doble emparejamiento".

Usted ha $(H^s)^\ast = H^s$, si usted identifica una función de $f \in H^s$ con el funcional $g \mapsto \langle g, f\rangle_{H^s} = \sum_{|\alpha|\leq s} \int \partial^\alpha g \overline{\partial^\alpha f}$ (o lo que sea producto escalar se utilizan en $H^s$).

Por otro lado, cuando se escribe $\delta \in H^{-s}$, entonces significa que el funcional $f \mapsto f(0)$. Esencialmente, lo que se utiliza aquí es el doble de la vinculación desde el (templado) de las distribuciones, que se extiende el emparejamiento $\langle f,g\rangle = \int f \overline{g}$.

(Quizá sorprendente) consecuencia de esto es que (por la representación de Riesz teorema) no es una función de $g \in H^s$ $\delta(f) = \langle f,g\rangle_{H^s}$ todos los $f \in H^s$.