¿Puede disminuir la posibilidad de encontrar una partícula en el tiempo?

Question

Supongamos que tenemos una función de onda descrita por una ecuación de onda, y es una función del espacio y del tiempo $\psi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{C}$.

Esta función debe ser normalizada, por lo que si entendí el bra-ket de notación :

$$\langle \psi | \psi \rangle = {\iint}_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \psi(x,t)dx dt = 1$$

(el asterisco significa conjugado.)

Pero veo algunos problemas aquí:

• Wavefunctions son reversibles, esto significa que la mitad de ella en el pasado, así que eso significaría que hay un 50% de probabilidad de que la partícula nunca se encuentra en todos.
• Con el fin de obtener finito valor para un completo dominio integral, el valor de la función debe acercarse a cero a medida que vamos hacia el infinito. Eso significaría que el hallazgo de la partícula disminuye con el tiempo. Que interesante, porque si no hay nada que medir, entonces se ha ido para siempre.

Me estoy perdiendo algo o se trata de una integral sobre el espacio y no el tiempo?

Answer 1

¿De dónde sacaste esa fórmula? La correcta normalización de no involucrar a la integral en el tiempo.

Denotando con $| \psi(t) \rangle$ el estado en tiempo de $t$, la normalización de la condición lee $$ \tag{A} \langle \psi(t) | \psi(t) \rangle = \int d^3 x | \psi(x,t) |^2 = 1, \forall t. $$ Lo que esto está diciendo es que en cualquier momento $t$ la partícula debe estar en algún lugar.

Por otra parte, la unitarity del tiempo de la evolución dice que en cualquier momento $t$ el espacio de la integral en (A) es 1, así que si usted también integrar con respecto al tiempo se obtiene un trivialmente infinito resultado. Viceversa, si la integral que informe si finita, la evolución no puede ser unitario.

Answer 2

Para responder al título, que no especifica el dominio de integración, la respuesta es sí, a menos que todo el espacio de configuración es considerado.

Para la concreción, deje $\Gamma$ ser el espacio de configuración de su sistema, y deje $D$ ser cualquier (Borel) subconjunto de $\Gamma$. Dado que una partícula se describe por un tiempo-dependiente de la función de onda $\psi:\mathbb R\to L^2(\Gamma)$, la probabilidad de encontrar en el dominio $D$ en el momento en $t$ es $$\text{Pr}_\psi(t,D) = \int_D|\psi(t,x)|^2\text d\Omega(x),$$ donde $\Omega$ es regular probabilidad medida en $\Gamma$ (normalmente la medida de Lebesgue al $\Gamma = \mathbb R^n$). Esta probabilidad puede disminuir con el tiempo, pero dado que el total de la probabilidad de encontrar la partícula en $\Gamma$ es 1, esto significa que la probabilidad de encontrar la partícula está aumentando en el complemento $\Gamma\smallsetminus D$. Una interpretación física de este comportamiento es que la partícula es, en promedio, a la deriva lejos de la región de $D$ hacia otras regiones del espacio de configuración.