Resolver una EDO $\frac{d^2y}{dx^2}+\cot x\frac{dy}{dx}+4y\csc^2x=0$

Question

$$\frac{d^2y}{dx^2}+\cot x\frac{dy}{dx}+4y\csc^2x=0$$

No he podido encontrar ningún ejemplo de cómo abordar las EDO de 2º orden con coeficientes trigonométricos.

¿Cómo puedo resolver la ecuación auxiliar y obtener la función complementaria? Por favor, ayuda.

No se dan condiciones iniciales. La respuesta dada es: $\displaystyle y=k_1\cos\left(2\log\tan\frac{x}{2}+k_2\right)$ .

Wolframalpha da una respuesta diferente: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27[x]+%2B+Cot[x]+y%27[x]+%2B+4+y[x]+Csc[x] ^2%3D0

Answer 1

Busca una solución de la forma $y=f(g(x))$ .

Si $y$ es una solución entonces, un ejercicio de regla de la cadena, mostrará, $$ (g')^2 f'' + (g'' + g'\cot x)f' + 4\csc^2 x f = 0 $$ Ahora aplicamos deseos de la vida . Esperamos poder organizar tal $g(x)$ para que la DE anterior tenga coeficientes constantes. De hecho, siempre podemos normalizar con un múltiplo constante para que después de dividir por $(g')^2$ coeficiente nos quedaremos con $1$ como el coeficiente de $f$ . Para ello necesitamos, $$ (g')^2 = 4\csc^2 x \implies g' = 2\csc x \implies g = -2\log (\csc x + \cot x)$$ Ahora mira el término medio. Ya que $g' = 2\csc x$ tenemos $g'' = -2\csc x\cot x$ y así obtenemos que $(g'' + g'\cot x) = (-2\csc x \cot x + 2\csc x \cot x ) = 0$ . Así, nos quedamos con, $$ f'' + f = 0 $$ Podemos elegir $f = \sin(x)$ como una de las soluciones. Ahora podemos comprobarlo, $$ y = \sin \big( 2\log(\csc x + \cot x) \big) $$ ¡Funciona!