¿Cuál es el menor valor posible de $\omega_1$ en $\mathrm{ZF}$ ?

Question

Es coherente con $\mathrm{ZF}$ que una unión contable de conjuntos contables puede ser incontable. Según tengo entendido, esto se debe a que en ausencia de $\mathrm{AC}$ no podemos elegir necesariamente una biyección entre cada conjunto de nuestra familia y $\omega$ . (Me imagino que la situación podría ser algo diferente con conjuntos contables de ordinales contables suficientemente pequeños, ya que para estos tales biyecciones pueden ser descritas por algún tipo de fórmula.

Como todavía hay muchas criaturas bastante grandes entre los contables-en $\mathrm{ZFC}$ ordinales (mientras leía casualmente sobre ordinales en Internet, $\omega_1^{CK}$ en particular me llamó la atención, por su definición en términos de computabilidad) me pregunto:

¿Cuál es el ordinal más pequeño posible $\alpha$ para lo cual es coherente con $\mathrm{ZF}$ que $\alpha$ es incontable?

En otras palabras, ¿cuál es el ordinal más pequeño posible $\alpha$ (describible (supongo) en algunos términos elementales que no sean " $\alpha$ es el ordinal incontable más pequeño" y posiblemente contable en $\mathrm{ZFC}$ ) de manera que sea coherente con $\mathrm{ZF}$ que $\alpha=\omega_1$ . Espero que esto no sea demasiado vago...

Por ejemplo: ¿es coherente con $\mathrm{ZF}$ que $\varepsilon_0=\omega_1$ o quizás $\omega_1^{CK}=\omega_1$ ? ¿Cuál es el mejor resultado conocido en esta línea?

Sólo por curiosidad. Gracias.

Answer 1

No tengo ni idea de cómo dar sentido a su pregunta más que de la siguiente manera: Si hay un modelo transitivo de ZF, entonces hay un modelo transitivo contable de ZF+V=L, y entonces hay tal modelo de menor altura. Su $\omega_1$ Llámalo $\omega_1^m$ es el ordinal que yo identificaría como la respuesta a su pregunta.

La cuestión es que si se habla de consistencia con una teoría formal, es necesario poder identificar el ordinal dentro de la teoría, de manera que su valor sea inequívoco. Esto no es tan fácil. "El ordinal $\omega_1$ " puede cambiar al pasar de un modelo transitivo a otro, por lo que su identificación inequívoca debe ser más robusta. Es aún más grave, ya que tiene que ser algo que se pueda identificar incluso si se trata de un modelo no estándar (quizás no $\omega$ -modelo). Pero entonces, ¿qué significa que sea inequívoco?

Así que me imagino que hay que limitarse a los modelos transitivos, y luego $\omega_1^m$ es la respuesta a su pregunta.

Por cierto, $\omega_1^{CK}$ es explícitamente contable. Ningún ordinal que puedas nombrar que sea un candidato potencial va a funcionar por razones similares. Asaf cita en los comentarios la absolutización de Shoenfield, pero invocarla es una exageración. Si te limitas a $\omega$ -La clase de máquinas de Turing y sus resultados están completamente determinados, y eso identifica de forma única $\omega_1^{CK}$ . Por supuesto, también se identifican sin ambigüedad ordinales contables mucho mayores.