Interpretación geométrica de $|z_1-z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$

Question

Tengo que dar un argumento geométrico que, dados dos números complejos a $z_1, z_2$, la siguiente desigualdad se cumple $$|z_1-z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$$

Sé que cada número complejo tiene un positivo módulo, y esto se convierte en un problema si $|z_1|\lt |z_2|$, y esto contradice el hecho de que $|z|\ge 0$ todos los $z \in \mathbb{C}$. Intuitivamente entiendo lo que está pasando, pero estoy teniendo problemas para formular un argumento geométrico. Me imagino que, mirando un Argand'diagrama, el Triángulo de la Desigualdad sería $$|z_1|+|-z_2|\ge |z_1-z_2|$$ lo cual tiene sentido. Pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

Si quieres prueba con la desigualdad del triángulo:

Aplique la desigualdad de triángulo para si $|z_1-z_2|+|z_2| \geq |z_1|$ $z_2\geq z_1$.
Se aplica otra vez para obtener $|z_2-z_1|+|z_1| \geq |z_2|$ si $z_1\geq z_2$.

Esto se da junto con $|x|=|-x|$ y $|x|=x$ si $x \in \mathbb R_{\geq 0}$ la desigualdad deseada.