Identidad de las matrices de proyección: $P_{M_ZX}=P_{M_Zx}+P_{M_{[x\; Z]}X_2}$

Question

Para cualquier matriz real $Y$ con $n$ filas y rango de columnas completo, definimos las matrices de proyección ortogonal $$ \underbrace{P_Y}_{n\times n}=Y(Y'Y)^{-1}Y',\quad \underbrace{M_Y}_{n\times n}=I_n-P_Y. $$ Entre otras muchas propiedades, $P_Y$ fija el espacio de la columna de $Y$ mientras que $M_Y$ envía cada vector de ese espacio a $0$ .

Un documento (referencia disponible si está interesado) que estoy leyendo cita la siguiente identidad $$ P_{M_ZX}=P_{M_Zx}+P_{M_{[x\; Z]}X_2}.\tag{$\star$} $$ (El subíndice del primer término del lado derecho es $M_Z\cdot x$ .) Las dimensiones de varias cosas son $$ Z:n\times l;\quad x:n\times1;\quad X_2:n\times k;\quad X=[x\; X_2]:n\times(1+k). $$

He pasado algún tiempo tratando de probar ( $\star$ ) sospechando que probablemente se trata de una manipulación algebraica inteligente, pero no puedo averiguarlo. Un mejor enfoque probablemente implica mirar el RHS de ( $\star$ ) y reconocer alguna relación entre $M_Zx$ y $M_{[x\;Z]}X_2$ . De momento no tengo suficientes conocimientos para este último enfoque, pero me interesa aprender más sobre las matrices de proyección. Este libro probablemente me ayudará, pero aún no tengo una copia.

¿Puede alguien ayudar, por favor? Muchas gracias.

Answer 1

En primer lugar, si $P_1,P_2$ son proyecciones ortogonales entonces $P_1$ y $P_2$ son semidefinidos positivos y $\Im(P_1+P_2)=\Im(P_1)+\Im(P_2)$ .

Ahora bien, si $P=P_1+P_2$ y $P,P_1,P_2$ son proyecciones ortogonales entonces $\Im(P)=\Im(P_1)+\Im(P_2)$ . Así, $P_1=P_1P=P_1^2+P_1P_2=P_1+P_1P_2$ . Por lo tanto, $P_1P_2=0$ y $\Im(P_1)\perp\Im(P_2)$ . Obsérvese que lo contrario también es cierto si $P_1,P_2$ son proyecciones ortogonales y $\Im(P_1)\perp\Im(P_2)$ entonces $P=P_1+P_2$ es una proyección ortogonal.

Por lo tanto, debemos demostrar que $\Im(P_{M_ZX})=\Im(P_{M_Zx})+\Im(P_{M_{[x,Z]}X_2})$ y $\Im(P_{M_Zx})\perp\Im(P_{M_{[x,Z]}X_2})$ .

Ahora $\Im(P_{M_Z X})=\Im(M_Z X)$ , $\Im(P_{M_Z x})=\Im(M_Z x)$ y $\Im(P_{M_{[x,Z]}X_2})=\Im(M_{[x,Z]}X_2)$ . $\hspace{2cm}(1)$

Observe que $\Im([x,Z])=\Im(Z)\oplus\Im(M_Z x)$ (porque la columna única de $M_Z x$ es la proyección de $x$ en el subespacio $\Im(Z)^{\perp}$ ).

Así, $\Im([x,Z])^{\perp}=\Im(Z)^{\perp}\cap\Im(M_Z x)^{\perp}$ y $\Im(Z)^{\perp}=\Im(Z)^{\perp}\cap\Im(M_Z x)^{\perp}\oplus \Im(M_Z x)$ . $\hspace{1.2cm}(2)$

Desde $M_Z$ es la proyección sobre el subespacio $\Im(Z)^{\perp}$ , $M_{[x,Z]}$ es la proyección sobre el subespacio $[x,Z]^{\perp}$ y $P_{M_Z x}$ es la proyección sobre el subespacio $\Im(M_Z x)$ entonces $M_Z=M_{[x,Z]}+P_{M_Z x}$ y $M_ZX_2=M_{[x,Z]}X_2+P_{M_Z x}X_2$ .

Por lo tanto, $\Im(M_ZX_2)\subset \Im(M_{[x,Z]}X_2)+\Im(M_Z x)\subset \Im(M_ZX_2)+\Im(M_Z x)$ .

Así que $\Im(M_ZX_2)+\Im(M_Z x)=\Im(M_{[x,Z]}X_2)+\Im(M_Z x)$ y, por $(2)$ , $\Im(M_{[x,Z]}X_2)\perp\Im(M_Z x)$ . $\hspace{0.5cm}(3)$

Observe también que $M_ZX=[M_Z x,M_Z X_2]$ . Así, $\Im(M_ZX)=\Im(M_Z x)+\Im(M_Z X_2)$ . Por $(3)$ , $\Im(M_ZX)=\Im(M_Z x)+\Im(M_{[x,Z]}X_2)$ . $\hspace{10cm}(4)$

Por último, al $(4)$ y $(1)$ , $\Im(P_{M_Z X})=\Im(P_{M_Z x})+\Im(P_{M_{[x,Z]}X_2})$ y $\Im(P_{M_Z x})\perp\Im(P_{M_{[x,Z]}X_2})$ .