¿Cuándo una matriz admite una forma canónica de Jordan?

Question

¿Si una matriz sobre el campo $\mathbb R$ tiene como divisores elementales: $x-4$, $x^2 + 2$, lo hace entonces admitir una forma canónica de Jordan?

¿AM que justo en pensar que una matriz tiene una forma canónica de Jordania sólo cuando sus divisores elementales son de la forma $(x-a)^n$?

lo siento si mi pregunta es demasiado básica. Estoy aprendiendo estas cosas por mi cuenta y estoy teniendo algunos problemas de comprensión de los

Answer 1

Una matriz sobre cualquier campo de $F$ tiene un FCC si se divide $F$, es decir, los divisores elementales de la matriz son de la forma $(x-a)^n$. Alternativamente, si $P[x]$ es un polinomio de grado $n$ sobre un campo $F$, $P[x] = 0$ tiene exactamente $n$ raíces sobre $F$.

Para una matriz de más de $\mathbb{R}$ no siempre tiene la FCC desde $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado ($x^2 + 2$ no dividida en $\mathbb{R}$ por ejemplo). Sin embargo, una matriz de más de $\mathbb{C}$ (que es algebraicamente cerrado) siempre tiene una FCC (siguiendo el ejemplo, $x^2 + 2$ hace divide en $(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$$\mathbb{C}$).

El resto de mi respuesta viene de mi propia respuesta que he publicado en alguna otra parte.

Además, si $A$ es una matriz cuadrada con entradas en un campo $F$ $F$ es algebraicamente cerrado de campo (por lo que la ecuación característica $c_A(x)$ se divide$F$), $A$ tiene una forma normal de Jordan.

Si $F$ no es algebraicamente cerrado, entonces existe un campo de extensión $K$ > $F$ tal que $c_A(x)$, dividido en $K$.