Subrepresentations irreducibles representación de $\operatorname{GL}_{3}(\mathbb{F}_q)$

Question

Para un carácter $\zeta$$\mathbb{F}_q^*$, podemos construir la representación $\zeta \otimes \zeta \otimes \zeta$ de la diagonal subgrupo $L$$\operatorname{GL}_{3}(\mathbb{F}_q)$, de la siguiente manera:

$$\zeta \otimes \zeta \otimes \zeta \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ \end{pmatrix} = \zeta(a)\cdot \zeta(b) \cdot \zeta(c)$$

Podemos dejar que esta representación de la ley en el grupo $B$ de triangular superior de las matrices lettingit acto trivial en el grupo $U$ en la de Levi descomposición de $B = U \rtimes L$. Me gustaría encontrar la descomposición en representaciones irreducibles de $\operatorname{Ind}_B^G(\zeta \otimes \zeta \otimes \zeta)$.

Mi inicio: sé de un artículo de Steinbeck que esto probablemente debería darle a me $3\cdot (q-1)$ representaciones irreducibles. Además, podemos escribir la $\operatorname{Ind}_B^G(\zeta \otimes \zeta \otimes \zeta) = \operatorname{Ind}_B^G(\zeta \circ \det)$. Sin embargo, no puedo encontrar la irreductible subrepresentations.

Edit: yo probablemente debería añadir más que ya he encontrado. Digamos $\pi := \zeta \otimes \zeta \otimes \zeta$, luego estamos tratando de calcular (por Frobenius Reciprocidad $\langle \pi, \operatorname{Ind}_B^G(\operatorname{Ind}_B^G(\pi)) \rangle_B$, que es igual a $$\sum_{w \in W} \langle \pi, \operatorname{Ind}_{B\cap B^w}^{B}(\pi^w) \rangle_B,$$ where $W$ is the Weyl-group (in this case $S_3$). We see that these give us the irreducible components of $\operatorname{Ind}_B^G(\pi)$. For $w = e \W$, we get $\operatorname{Ind}_{B\cap B^w}^{B}(\pi^w) = \pi$, and of course $\langle \pi, \pi \rangle_B = 1$.

Answer 1

Primero que todo, permítanme señalar que fija $\zeta$, este incuded representación tendrá $3$ distintos irreductible componentes, no $3(q-1)$; se obtendrá de la $q-1$ a partir de lo $\zeta$ a variar. (Usted probablemente sabe que, pero sólo para estar seguro).

Tienes más o menos la idea correcta de cómo hacerlo. Hay un pequeño problema a pesar de que explicaré en breve. Por simplicidad, tenga en cuenta que, como $\det$ es un personaje de $G$, podemos escribir $Ind_B^G \pi=(Ind_B^G 1)\otimes(\zeta\circ\det)$. Así que puede ser que también acaba de hacer esto para $\zeta=1$. Ahora, proceder tal y como lo hizo, obtenemos $$\dim End_G(Ind_B^G 1)=\sum_{w\in W}\dim Hom_B(1,Ind_{B\cap B^w}^B 1).$$ El uso de Frobenius de nuevo, esto es $\sum_{w\in W}\dim Hom_{B\cap B^w}(1,1)$, lo cual es claramente $|W|=6$. La razón por la que estamos viendo 6 es que $Ind_B^G 1$ no es multiplicidad.

La descomposición se da de la siguiente manera. Deje $M=GL(2)\times GL(1)$ $M'=GL(1)\times GL(2)$ ser la de Levi subgrupos que se extiende entre los $L$$G$, por lo que tenemos una torre de inclusiones $L\subset M,M'\subset G$. Esto da lugar (por transitividad de la inducción) para invertir la ordenada de la torre de incrustaciones $1=Ind_G^G 1\hookrightarrow Ind_P^G 1\simeq Ind_{P'}^G 1\hookrightarrow Ind_B^G 1$ donde $P,P'$ son estándar parabolics que contengan $M$$M'$, respectivamente. Claramente 1 es el primer irreductible subrepresentation de $Ind_B^G 1$. Siguiente, $1$ admite un complemento en $Ind_P^G 1$ (por semisimplicity), la cual debe ser irreductible, y de manera similar a $Ind_P^G 1$ tiene un complemento en $Ind_B^G 1$. Voy a dejar a usted para verificar los detalles; es, básicamente, puede hacerlo como lo hicimos anteriormente (es decir, calcular el $\dim End_G(Ind_P^G 1)$, que se descompone como suma más de un subgrupo del grupo de Weyl. Este será el $W_M$ de los elementos de $W$ que se recupera la partición $G=\coprod_{w\in W_M}PwP$; de manera abstracta será el grupo de Weyl $M$,$W_M=N_G(M)/M$. También tendrás que mirar cosets de la forma $BwP$ en algún punto, de nuevo solo hay que mirar lo que se necesita para recuperarse $G=\coprod BwP$.)