Es $\operatorname{Homeo}([0,1])$ Weil-Completa?

Question

Después de aprender acerca de uniformidad en grupos topológicos, nos dieron varias fuentes para leer. Me encontré con el término "Weil-completa". Un grupo topológico es Weil-completo si es completo con respecto a la izquierda (o derecha) de la uniformidad.

Nos enteramos de que los conjuntos de $\{(x,y) \in G \times G : x^{-1}y \in U \}$ donde $U$ es el barrio de el elemento neutro, formar una base de séquitos de la izquierda de homogeneidad (de forma similar a los conjuntos de $\{(x,y) \in G \times G : yx^{-1} \in U \}$ formulario de una base de séquitos por el derecho a la homogeneidad).

Si $G$ es el grupo $\operatorname{Homeo}([0,1])$ de todos los auto-homeomorphisms de $[0,1]$, y está equipado con la topología de la convergencia uniforme, sería $G$ ser Weil-completa?

He estado buscando esto desde hace bastante tiempo, pero no he sido capaz de hacer cualquier progreso. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

La respuesta es no. Eso es simplemente porque el límite uniforme de homeomorphisms no se necesita ser un homeomorphism (por conveniencia notacional, me consideraré $[0,2]$ en lugar de $[0,1]$):

Deje $$\varphi_n(x) = \begin{cases} \frac xn & \text{for }x\in \left[0,1\right] \\ 2\left(1-\frac{1}n \right)(x-1)+\frac1 n & \text{for }x\in [1,2] \end{cases}$$

y $$\varphi(x) = \begin{cases} 0 & \text{for }x\in \left[0,1\right] \\ 2(x-1) & \text{for }x\in [1,2] \end{cases}$$

A continuación, $\varphi_n \in \text{Homeo}([0,2])$ todos los $n$$\|\varphi_n - \varphi\|_\infty \le \frac 1n \to 0$. Por lo $\varphi_n$ es de Cauchy, pero desde $\varphi\notin \text{Homeo}([0,2])$, la secuencia no puede tener un límite en $\text{Homeo}([0,2])$.