¿Se puede formular la mecánica cuántica sin hacer referencia a imágenes?

Question

NOTA: _en lo siguiente con la palabra "imagen" me refiero a las imágenes de Schrödinger, Heisenberg, Interacción, es decir, a la forma en que la evolución temporal se "distribuye" entre estados y operadores_.

Frecuentemente cambiamos, de acuerdo a lo que es más adecuado para el problema en consideración, entre diversas imágenes (Schrödinger, Heisenberg, Interacción, varias combinaciones de las anteriores). Esto es, en mi entendimiento, puramente para facilitar las manipulaciones formales, y el contenido físico de la teoría siempre es independiente de la imagen utilizada para describirla.

¿Es posible formular la mecánica cuántica de manera que evite completamente el uso de diversas imágenes? ¿La evolución temporal de los elementos de matriz $$ \langle \alpha | \hat{O} | \beta \rangle (t)$$ es suficiente (¿lo es?) para caracterizar el sistema en cualquier momento. ¿Es posible, al menos en principio, llevar a cabo cálculos utilizando solo esto y sin hacer referencia a imágenes?

Answer 1

Como dices, las imágenes en la mecánica cuántica son simplemente diferentes formas de calcular exactamente lo mismo: el valor esperado de observables $\mathcal{O}$. Ahora, en todas las imágenes, podemos derivar el teorema de Ehrenfest

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle [\mathcal{O},H]\rangle + \langle\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{O}\rangle$$

lo cual te dice cómo evoluciona cada valor esperado con el tiempo. Se cumple en todas las imágenes conocidas. De hecho, se puede utilizar para derivar la ecuación de Schrödinger. En este sentido, es un fundamento equivalente de la mecánica cuántica. Al igual que con todas las demás formas de ver la mecánica cuántica, la visión fundamental aquí es que el hamiltoniano es el generador de las traslaciones temporales (así como lo es en la mecánica clásica del espacio de fases, o en la formulación de Koopman-von Neumann de la mecánica).

No hay más rigor que encontrar. Todas las imágenes son equivalentes (por ejemplo, el teorema de Stone-von Neumann muestra que Schrödinger y Heisenberg son unitariamente equivalentes, esencialmente haciendo que el cambio entre ellos (como comenta DanielSank) sea un cambio de base en el espacio de Hilbert) - puedes partir de la ecuación de Schrödinger y decir que la evolución temporal opera sobre los estados, puedes partir de la evolución temporal de Heisenberg y decir que los operadores evolucionan, puedes partir del teorema de Ehrenfest. Todo es lo mismo.