Convolución de vectores aleatorios

Question

Supongamos que tengo dos vectores aleatorios $A=[A_1, A_2, \dots A_k]$ y $B=[B_1, B_2, \dots B_m]$ . ¿Cuál podría ser el PDF conjunto $f_{\mathbf{y}}(y_1,y_2,\dots y_N)$ donde

$\mathbf{y}=A \ast B$ Aquí $\ast$ representa la convolución. En este ejemplo, todos los componentes de $A$ y $B$ son variables aleatorias complejas gaussianas independientes de media cero con desviación típica $\sigma_a$ y $\sigma_b$ respectivamente. Puedes mencionar los pasos y/o referirte a algún documento que tenga algunas pistas. Gracias de antemano.

Answer 1

Para calcular la convolución de dos vectores, creo que debes aplicar la fórmula de la convolución discreta. Entonces si,

$$ A=(A_1,A_2,…,A_k)^T \text{ and } B=(B_1,B_2,…,B_m)^T$$

Entonces la convolución discreta es un vector tal que cada componente $i$ es

$$(A\ast B)_i = \sum_{i = 1}^m A_{i-j}B_j \text{ }i=1,2,3...$$

$A_{i-j}$ y $B_{j}$ son variables aleatorias gaussianas con $\mu = 0$ . Es decir, su PDF es

$$A_{i-j} \sim N(0, \sigma_A^2)$$ $$B_{j} \sim N(0, \sigma_B^2) $$

Editar:

El PDF del producto se discute en lo siguiente papel . Se puede encontrar más información en las secciones 3 y 4 de este papel . El pdf de las dos normales no es ni normal ni simétrico. Debes utilizar la integración numérica para encontrar su valor.