El género de Todd como homomorfismo del cobordismo complejo

Question

Es bien sabido que el género Todd/género aritmético $\chi(\mathcal{O}_X)$ (o probablemente preferible $\int_X \text{td}(T_X)$ para definirlo en términos puramente de la estructura compleja) es un género en el sentido de un homomorfismo a partir de un cobordismo complejo.

Pero me resulta difícil conciliar esto con mi creencia de que en el anillo de cobordismo, $[\mathbb{CP}^1]+[\mathbb{CP}^1]=[\mathbb{CP}^1\#\mathbb{CP}^1]=[\mathbb{CP}^1]$ - es decir, dos esferas de Riemann disjuntas son coordantes con la suma conexa de la esfera de Riemann (pegando estructuras complejas y todo) consigo misma, que es isomorfa como colector complejo a la esfera de Riemann. Pero obviamente el género aritmético de la línea proyectiva compleja no es $0$ así que esto no puede sostenerse. ¿Qué parte de este razonamiento estoy entendiendo mal?

Answer 1

En primer lugar, permítanme falsificar $[\mathbb{CP}^1]+[\mathbb{CP}^1]=[\mathbb{CP}^1\#\mathbb{CP}^1]=[\mathbb{CP}^1]$ por un argumento de mazo: El anillo de bordismo complejo $\Omega_*^U\cong \mathbb{Z}[x_{2i}|i\in\mathbb{N}]$ es un anillo polinómico integral con un generador en cada dimensión par, por lo que en particular no tiene torsión y $[X]+[X]=[X]$ sólo puede valer para la clase trivial. (Incluso se puede elegir que el generador en grado 2 sea $\mathbb{CP}^1$ .)

¿Dónde has ido a la derecha?

1. $X\amalg Y$ es, en efecto, complejo bordante a $X\#Y$ Así que $[X]+[Y]=[X\amalg Y]=[X\#Y]$ retenciones.
2. $S^2\cong\mathbb{CP}^1$ tiene una estructura única casi compleja.

¿Qué falló?

Las clases de bordismo complejo no están necesariamente representadas por variedades con una estructura casi compleja en el haz tangente, sino por variedades con una estructura tangencialmente estable estructura casi compleja en su haz tangente, que es inducida por un isomorfismo del haz tangente a un haz vectorial complejo después de añadir un haz trivial, es decir. $TM\oplus\mathbb{R}^k\cong \xi$ donde $\xi$ es un haz vectorial complejo y $k\in\mathbb{N}_0$ Ver esta página sobre el atlas del colector . La construcción de la clase de bordismo complejo $X\#Y$ produce tal estructura tangencial establemente casi compleja, que no tiene por qué proceder de una estructura honesta casi compleja sobre el haz tangente, incluso si la estructura sobre $X$ y $Y$ fueron inducidos por estructuras casi complejas.