Con el mejor esfuerzo que he tomado, no pude encontrar una aplicación de una función especial en teoría de números o de análisis en internet. Por cierto, casi nunca es por qué las aplicaciones de funciones especiales en matemáticas pura mención en los libros
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Los zeta función y de la gamma-función, se menciona en los comentarios, son muy abundantes en la teoría analítica de números. Funciones de Bessel de, por ejemplo, si el parcial de los cocientes de la continuación de la fracción del número real $x$ forman una progresión aritmética, a continuación, $x$ se puede expresar en términos de funciones de Bessel. La teoría de particiones nos da Dedekind la eta-función y sirve como una introducción a las formas modulares y modular las funciones. Clausen funciones, polylogarithms, funciones hipergeométricas ... la teoría de los números está lleno de funciones especiales. Ellos están ahí fuera --- basta con mirar un poco más difícil!
Andrew
Puntos
140
Aparte de la muy ubicuo $\zeta(s)$ en la teoría analítica de números (como ya se ha mencionado por Gerry y otros), más mundanas ejemplo es la logarítmica integral, $\mathrm{li}(x)=\mathrm{PV}\int_0^x\frac{\mathrm du}{\ln\,u}$, que se convierte como uno de los mejores estimaciones para describir el comportamiento de la primer función de recuento $\pi(x)$. También se convierte en Riemann, refinado estimación
$$R(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k}\mathrm{li}(\sqrt[k]{x})$$
Hay un montón de los más llamativos ejemplos; sólo seguir buscando!
