Notación en estadística (parámetro/estimador/estimación)

Question

En estadística, es muy importante diferenciar los tres conceptos siguientes, que los alumnos suelen confundir y mezclar.

Normalmente, los libros denotan por $\theta$ un desconocido parámetro . A continuación, deseamos estimarlo. Utilizamos un estimador que los libros suelen denotar por $\widehat{\theta}$ . El estimador es una variable aleatoria. Normalmente buscamos $E[\widehat{\theta}]=\theta$ y así sucesivamente. Un estimación es el valor que obtenemos al muestrear e insertar nuestros valores en nuestro estimador.

Un ejemplo clásico es:

• Parámetro: media de la población $\mu$ .
• Estimador $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ basado en a priori observaciones $X_1,\dots,X_n$ . Y luego, muestreamos las observaciones $x_1,\dots,x_n$ y calcular $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ .
• Obs: $\mu$ es un número desconocido. $\overline{X}$ es una variable aleatoria, y $\overline{x}$ ¡es un número!

Con letras latinas concretas parece fácil destacar este hecho, pero cuando usamos $\theta$ y $\widehat{\theta}$ (la clásica notación de sombrero para el estimador) No sé cómo destacar este hecho. No sé cómo diferenciar entre $\widehat{\theta}$ y un observado específico $\widehat{\theta}$ .

Algunos libros proponen: $\widehat{\theta}_{obs}$ que no me gusta por ejemplo si hablamos de dos proporciones de población $p_1$ y $p_2$ y sus estimadores $\widehat{p}_1$ y $\widehat{p}_2$ . Porque entonces se vería como $\widehat{p}_{1,obs}$ lo que no es estético.

¿Qué soluciones propone? ¿Alguien ha visto una buena notación para esto?

Answer 1

No hay una respuesta única a esta pregunta porque diferentes autores pueden utilizar una notación diferente. Para mí, la notación más práctica es la utilizada, por ejemplo, por Larry Wasserman en Todas las estadísticas :

Por convención, denotamos una estimación puntual de $\theta$ por $\hat\theta$ o $\widehat\theta_n$ . Recuerde que $\theta$ es un valor fijo y desconocido desconocida. La estimación $\hat\theta$ depende de los datos así que $\hat\theta$ es una variable aleatoria.

Más formalmente, dejemos que $X_1,\dots,X_n$ sea $n$ puntos de datos iid de algunos distribución $F$ . Un estimador puntual $\widehat\theta_n$ de un parámetro $\theta$ es una función de $X_1,\dots,X_n$ :

$$\widehat\theta_n = g(X_1,\dots,X_n).$$

Así que $\theta$ es el parámetro desconocido, $\hat\theta$ es la estimación, y una función $g$ de la muestra es el estimador. Esta notación también deja claro que $g$ es una función.

Answer 2

Tienes razón en que el uso de letras griegas minúsculas crea una posible ambigüedad en este caso; es un problema común en la enseñanza de la teoría de la estimación a los estudiantes. Para diferenciar entre un estimador y el correspondiente estimación Me parece útil utilizar una notación que incluya los datos como un valor argumental, y de este modo se subraya que tenemos una función de los datos:

$$\begin{matrix} \text{Estimator} & & & \hat{\theta}(\boldsymbol{X}), \\[6pt] \text{Estimate } \text{ } & & & \hat{\theta}(\boldsymbol{x}). \\[6pt] \end{matrix}$$

Con esta notación se sustituye la mayúscula $\boldsymbol{X}$ para denotar la variable aleatoria (estimador) y las minúsculas $\boldsymbol{x}$ para denotar un valor observado fijo (estimación). También tiene la ventaja de ser técnicamente más sólido, ya que para un valor fijo $n$ el estimador es una función $\hat{\theta}: \mathscr{X}^n \rightarrow \Theta$ . Así que cuando escribo con esta notación suelo decir cosas como esta:

Para los grandes $n$ podemos apoyarnos en el teorema del límite central para escribir la distribución del estimador como $\hat{\theta}(\boldsymbol{X}) \sim \text{N}(\theta, \sigma_{se}^2)$ . En nuestro ejemplo de simulación anterior hemos simulado valores de una distribución con media real $\theta = 3$ , lo que arroja datos $\boldsymbol{x} = (3.1, 5.2, 1.6)$ , dándonos la estimación $\hat{\theta}(\boldsymbol{x}) = 3.3$ .

Una vez que los alumnos comprendan la diferencia entre el estimador aleatorio y la estimación fija, y si el significado es obvio por el contexto, se puede abandonar el argumento más adelante.