Intuición que $A=\{x\in M|\space f(x)\neq g(x)\}$ está abierto dado $f,g$ continua

Question

Deje $M,N$ dos espacios métricos y $f,g:M\rightarrow N$ funciones continuas. Mostrar que el conjunto de $A=\{x\in M|\space f(x)\neq g(x)\}$ está abierto en $M$.

Bueno, yo entiendo que si $h(x)=d_{N}(f(x),g(x))$ sólo queda demostrar, que la $h$ es continua y, a continuación, el conjunto de $A=\{x\in M|\space h(x)>0\}$ está abierto. Mi pregunta es, ¿cuál fue la "mente" para llegar a la conclusión de que yo debería usar $h$ en lugar de algo más para demostrar que la proposición. ¿Cuál fue la intuición detrás de la creación de esa función.

Espero que ustedes entiendan lo que estoy tratando de preguntar, muchas gracias de antemano.

Answer 1

Esta es la prueba de lo que a menudo se llama un seguimiento de su nariz prueba --- en cada paso de hacer la única cosa que puede con la información dada, y que se termina en el resultado. Para este problema, va como sigue:

1. Observo que el objetivo es demostrar que el $A$ está abierto. Entonces, ¿qué me da? Todos los que me dan es la información acerca de las funciones continuas de$M$$N$. Esto sugiere que voy a necesitar para mostrar que $A$ es la pre-imagen de un conjunto abierto en virtud de alguna función continua.
2. Necesito encontrar una función continua $h$ y un conjunto abierto $B$ tal que $A = h^{-1}(B)$. Claramente, la función debe ser en términos de$f$$g$, ya que ellos son todo lo que tengo que trabajar con, y también claramente no puede ser sólo uno de ellos, ya que los $A$ se define en términos de ambos.
3. Entonces, ¿qué combinación de $f$ $g$ podría producir una función que tiene que ver con $A$? Bueno, en realidad no hemos utilizado cualquiera de las métricas $d_M$ o $d_N$ todavía, así que vamos a mirar allí. Vuelvo a mi definición de espacio métrico y el aviso de que $d(a,b) > 0 \iff a \ne b$. Me doy cuenta de que $a \ne b$ se parece a $f(x) \ne g(x)$. Es decir, nuestro espacio métrico definición dice que $f(x) \ne g(x) \iff d_N(f(x),g(x)) > 0$. Por lo tanto, $h : M \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ define como $h(x) = d_N(f(x),g(x))$ parece que puede ser un buen candidato para $h$.
4. Realmente, no hay más trabajo para hacer --- acabo de comprobar que hemos seguido nuestra nariz en el lugar correcto: dejar a $h(x) = d_N(f(x), g(x))$, y observar que esto obliga a $B = (0,\infty)$, lo que podemos confirmar es abierto. Y $h$ es claramente continua. Por lo $A$ está abierto!

Answer 2

Si los espacios fueron espacios euclidianos, podría definir $h(x)=f(x)-g(x)$. $h$ Sería continua, su cero juego se iba a cerrar y el complemento sería abierto. Hecho.

No puede restar funciones en espacios métricos generales. Pero ya que queremos que el juego de cero, entonces lo mejor es usar la distancia en el codomain.

Answer 3

OMI, se trata de lo que es un "truco básico", probar simplemente porque es una de las cosas estándar usted comprobar para ver si se aplica a su problema.

En realidad, hay dos trucos básicos aquí:

• la idea de codificación "igual / no igual a" a través de la métrica
• identificar las restricciones de desigualdad entre números reales como sistemas abiertos (o las restricciones de igualdad como conjuntos cerrados) para poder usar propiedades topológicas generales de tales cosas