$\mathrm{S_1}$ y$\mathrm{S_2}$ son dos círculos de radio de la unidad que tocan en el punto$P$; $T$ es una tangente común a$\mathrm{S_1}$ y$\mathrm{S_2}$ tocándolos en$X$ y$Y$; $\mathrm{C}{_1}$ es el círculo que toca$\mathrm{S_1}$,$\mathrm{S_2}$ y$T$. $\mathrm{C}{_n}$ es el círculo que toca$\mathrm{S_1}$,$\mathrm{S_2}$ y$\mathrm{C}{_{n-1}}$ para$n > 1.$ Al calcular los diámetros de$\mathrm{C}{_n}$, se prueba que$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots =1\,.$ $
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Mediante el uso de Descartes círculo teorema nos encontramos con que la curvatura del círculo de $C_1$$4$$C_2$$12$, y, en general, la curvatura del círculo de $C_n$$2n(n+1)$.El diámetro del círculo $C_n$$\frac1{n(n+1)}$. El $C_n$ círculos se apilan una encima de la otra que es la suma de todos los diámetros es la distancia desde la tangente común a $T$ a, el punto de intersección $P$. Este es el radio de la $S_1$$S_2$$1$. Q. E. D.
El artículo de la Wikipedia da $\ k_4 = K_\pm(k_1, k_2, k_3) := k_1 + k_2 + k_3 \pm 2\sqrt{k_1k_2 + k_2k_3 + k_3k_1}, \ $ la fórmula para calcular la curvatura de uno de los cuatro curvaturas de cuatro mutuamente círculos tangentes en términos de los otros tres curvaturas. Comenzamos con $\ K_1 = 4 = K_+(1, 1, 0) \ $ desde la línea tangente tiene curvatura $0$. A continuación, $\ K_2 = 12 = K_+1, 1, 4), \quad K_3 = 24 = K_+1, 1, 12), \ $ y así sucesivamente. Se puede comprobar que $\ K_+(1, 1, 2n(n+1)) = 2(n+1)(n+2). \ $, Por definición, la curvatura es el recíproco de la radio, y por lo tanto el radio de la circunferencia $C_n$ $\ \frac1{2n(n+1)}. \ $
wujj123456
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Aquí es una manera alternativa de calcular el diámetro de la $d_n$$C_n$. Una vez que obtenga $d_n$, se utiliza el mismo argumento como Somos presentado para demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty\,d_n=R$ donde $R$ es el radio de la $S_1$ $S_2$ (aquí se $R$ a $1$).
Considerar la inversión de $i$ centro $P$ y radio de $\rho:=PX=PY=\sqrt{2}R$. A continuación, $l_1:=i(S_1)$ $l_2:=i(S_2)$ son dos líneas paralelas perpendiculares a$XY$$X$$Y$, respectivamente. La imagen de $i(XY)$ de la línea de $XY$ es el círculo de $\Gamma$ pasa a través de $X$, $Y$, y $P$ (teniendo en cuenta que $\Gamma$ toughes tanto $l_1$$l_2$).
Ahora, vamos a $\gamma_n$ denotar la imagen $i(C_n)$ de la circunferencia $C_n$$n=1,2,3,\ldots$. Escribir $PP_1$ para el diámetro de la $\Gamma$ con un extremo que se $P$. Puede ser fácilmente visto que hay puntos de $P_2,P_3,\ldots$ en el rayo $PP_1$ tal que $2R=PP_1=P_1P_2=P_2P_3=\ldots$ y cada una de las $P_nP_{n+1}$ es un diámetro de $\gamma_n$. Esto significa $PP_n=2Rn$. Ahora, escriba $Q_n$$i(P_n)$. A continuación, $$PQ_n=\frac{\rho^2}{PP_n}=\frac{2R^2}{2Rn}=\frac{R}{n}\,.$$ Es decir, si $d_n$ es el diámetro de $\gamma_n$, luego $$d_n=Q_nQ_{n+1}=PQ_n-PQ_{n+1}=\frac{R}{n}-\frac{R}{n+1}=\frac{R}{n(n+1)}\,.$$
