Hay un punto de $O$ dentro de un triángulo $\triangle ABC$ (cualquier triángulo) tal que el ángulo de $\angle{AOB} = \angle{BOC} = \angle{AOC}$? ¿Cómo llamamos a este punto?
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Alistair
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Este no es el caso para cada triángulo, $1^\circ-1^\circ-178^\circ$ triángulo, por ejemplo, es uno de los contraejemplos a este reclamo. Sin embargo, si todos los ángulos son menos de $120^\circ$, entonces la afirmación es verdadera.
Para la construcción de un punto; Tomar cualquier lado de la $[AB]$, encontramos dos intersecciones de la mediatriz y el círculo con un radio de $\dfrac{|AB|}{2\sqrt 3}$ centrada en el punto medio de la $[AB]$. Llamar a esto apunta $A'$$B'$. Dibuja dos círculos contiene puntos de a$A'AB$$B'AB$. Todas las $120^\circ$ ángulos que ver $[AB]$ están en estos círculos. Si se aplica este procedimiento a otros lados y tomar puntos de intersección de estos círculos, se puede ver las combinaciones de puntos de intersección tal que los tres círculos se intersectan, le dio dos puntos. Uno de estos puntos están siempre fuera del triángulo y se puede ver otro punto podría ser dentro o fuera del triángulo.
Actualización: al Parecer; estos dos puntos de intersección se denomina Fermat puntos; el punto en que siempre llaman al segundo punto de Fermat, y el otro se llama primer punto de Fermat. También, por encima de los círculos que tienen estos puntos son llamados Vesica piscis.
Aquí está una foto de estos Fermat puntos y círculos:
Todos los ángulos son $120^\circ$ como agregar a un círculo completo. Sí hay un punto tan largo como el triángulo los ángulos de menos de $120^\circ$. Imagine tener una Y en forma de conjunto de palos de a $120^\circ$ ángulos. Si usted pone un brazo a través de $A$ con el vértice muy cerca de $A$ y un segundo brazo a través de $B$, el tercer brazo casi extender $AB$. Poner el tercer brazo en el lado de la $AB$ que $ C$ es. Si, a continuación, deslice el vértice lejos de $A$ y más $B$, cuando se pone muy cerca de $B$ el tercer brazo se extenderá $AB$ la otra dirección. En algún lugar entre el que se va a ir a través de $C$. No sé lo que el punto se llama. También le da la longitud mínima de la red que conecta $A$, $B$, y $C$.
Unit
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Jamás me he planteado esto antes y no sé qué tal un punto que se llama. Pero si un punto de $O$ existe dentro de $\triangle ABC$, luego $$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ.$$ Por la ley de los cosenos, $|Ox|^2 + |Ox||Oy| + |Oy|^2 = |xy|^2$ para cada par $\{x, y\} \subseteq \{A, B, C\}$. (Estoy usando las barras de longitud media.)
No estoy seguro acerca de lo contrario: si hay un punto de $O$ para que estos tres algebraicas condiciones se cumplen, son los tres ángulos $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COA$ la igualdad?
smci
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Se llama el primer punto de Fermat.
De MathWorld, parece que sólo existe cuando todos los ángulos < 120º
