¿Cómo determinar los parámetros $a, b,$ y $d$ para que una función racional modelos un gráfico determinado?

Question

Estoy tratando de resolver un problema del funcionamiento. Afirma:

Determinar los valores de $a$, $b$, y $d$, de modo que la función racional $$f(x) = \frac{(x+a)(x-1)(x-b)}{(x-c)(x+d)(x-3)}$$

correctamente los modelos de este gráfico:

He estado mirando esto por un tiempo y simplemente no puedo entender cómo se supone que voy enfoque. Creo que tiene algo que ver con los límites y sé que todos van a ser números enteros. Las ideas más allá al azar de conectar los números en Desmo hasta que obtener el derecho de la gráfica?

Answer 1

a partir de la expresión, vemos que cuando el numerador es cero, la gráfica intersecta $x$ eje, y el numerador se convierte en cero cuando cualquiera de los factores es cero, por lo tanto las posibles raíces: $x=-a, x=1$ $x=b $ . También cuando el denominador es cero, la gráfica debe tienden a infinito, si el numerador es distinto de cero al mismo tiempo. es decir: $x= c, x=-d$ $x=3$.

En el gráfico, las raíces se $x=-2,x=1$. De ahí sugerencias para$a$$b$.

También como la discontinuidad es en $x=3$, la función no está definida allí, por lo tanto el denominador es cero, pero el numerador es también pero dado que no se puede dividir por cero no está definida en ese punto. Así que usted tiene que pensar en formas en las que podemos optar $c$ $d$ tal que en uno de la función no está definida y en el otro simplemente se alcanza el infinito.

Usted puede tomar desde aquí, supongo.

Answer 2

SUGERENCIA:

• ¿Se puede ver que en $x=-1,2$ $f$ va hasta el infinito así $c$ y $d$ son?
• Luego use el % de puntos $(-2,0)$y $(1,0)$ resolver $a$ y $b$.

Answer 3

Para este tipo de problema, debe empezar por mirar "puntos especiales": intercepta, asíntotas, discontinuidades, etc. Luego puede pasar a la búsqueda de esos para la derivada, segunda derivada, etc.

Hay tres puntos de especial relieve para usted: $x$-intercepta en $-2$$1$, e $y$-en la intersección $1$, y una discontinuidad en $(3,2.5)$. El $x$-intercepta decir donde la función debe ser cero: al conectar ambos $x = -2$ $x = 1$ debe dar cero. Si el enchufe $x = 1$ a $x - 1$, lo que le da cero, por lo que ya ha tomado cuidado de. Así que ahora usted tiene uno de los paréntesis para darle cero en $x = -2$. Si $x = -2$, entonces la adición de $2$ $x$da cero, por lo que desea un $x+2$ en uno de los paréntesis, por lo $a = 2$.

Para el $y$-intersección, usted puede conectar $x = 0$, y ver que la ecuación da $$\frac{(0+2)(0-1)(0-b)}{(0-c)(0+d)(0-3)}.$$ Este tiene tres incógnitas, por lo que no es muy útil.

Podemos próximo vistazo a las asíntotas verticales. Hay dos de ellos, en$x = -1$$x = 2$. Una asíntota vertical se corresponde con el denominador es cero, por lo que debemos tener $x + 2$ $x - 1$ en el fondo, dando a $c = 1$$d = 2$. Sin embargo, también hay un $x - 3$ en la parte inferior, pero no hay asíntota vertical en $x = 3$. Así que tenemos que cancelar con un $x - 3$ en la parte superior, dando a $b = 3$.