Así que recientemente acaba de terminar un curso en aritmética de Peano y modelos no estándar. Soy muy intriga por este tema. Por lo tanto soy algo curioso ¿Qué investigación alrededores PA ahora?
Saludos
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es un tema rico, pero puede ser difícil de navegar. En lugar de tratar de describir el tema, permítanme sugerir algunas fuentes específicas; incluso si no son exactamente lo que usted está buscando, creo que van a ayudar a empezar (y sus introducciones y bibliografías le ayudará a encontrar lo que usted quiere).
Kaye, los Modelos de la aritmética de Peano y Kossak/Schmerl de La estructura de los modelos de la aritmética de Peano son las más obvias mencionar. Estos son los dos únicos libros de texto en PA, que yo sepa. Yo he listado en orden cronológico, pero ambos son bien independientes; personalmente prefiero el segundo.
Subtheories de PA (por ejemplo, I$\Sigma_n$) son mucho más fáciles de navegar, en mi opinión. Aquí el libro que yo recomiendo es Hajek/Pudlak es El metamathematics de la lógica de primer orden. El estudio de la débil subtheories de PA y el estudio de la PA en sí tiene muy sabores diferentes, pero ambos son vale la pena bucear.
Que cubre el estándar de textos como los veo; permítanme mencionar un par de fuentes que son más difíciles, pero que todavía puede encontrar valiosa.
Usted mencionó específicamente los modelos de PA, pero otro tema muy importante aquí es la prueba de la teoría. El teorema de gödel dice que PA no puede probar su propia consistencia; sin embargo, todavía podemos preguntar si podemos encontrar un "razonablemente sistema sencillo que puede resultar Con(PA), y, en particular, la esperanza de algún modo de medir la dificultad de probar Con(PA). El primer paso en esta dirección fue tomada por Gentzen, quien se mostró más o menos la consistencia de PA puede ser demostrado por una muy débil de la base de la teoría (PRA; mucho más débil que PA) junto con un adicional de asunción: aproximadamente, que el ordinal $\epsilon_0$, que puede, en sentido figurado pensar como $$\omega^{\omega^{\omega^{...}}},$$ is in fact well-ordered. That is, a certain amount of transfinite induction captures the difficulty of proving Con(PA). Moreover, Gentzen showed that no smaller ordinal would do: $\epsilon_0$ es exactamente lo que usted necesita. Este fue el primer resultado en lo que se conoce como ordinal análisis, para lo cual recomiendo Rathjen la encuesta de papel (que rápidamente se hace duro, pero aún debe dar suficiente de un gusto de la persona para saber si es algo que le interesa).
Por último, volviendo a un modelo teórico de sabor, creo que algunos de Bovykin los papeles pueden ser de interés para usted, por ejemplo, este o este.
