Todos los sistemas con $N$ o más electrones se encuentra en un espacio de Hilbert $H=H_{\text{space}} \otimes H_{\text{spin}}$ con $H_{\text{space}}=H_{\text{space}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{space}}^{N}$ y $H_{\text{spin}}=H_{\text{spin}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{spin}}^{N}$ , $H^i$ siendo el $i$ -espacio de partículas. Entonces el sistema tiene un estado $|\Psi\rangle = |\Psi\rangle_{\text{space}} \otimes |\Psi\rangle_{\text{spin}} \in H$ .
Lo que no se me ocurrió es un ket de giro antisimétrico $|\Psi\rangle_{\text{spin}}$ cuando había más de 3 electrones. Esto significaría que la única forma de antisimetrizar $|\Psi\rangle$ , para $N\geq 3$ es antisimétrico sólo en la parte espacial. Me parece extraño, ya que para $N=2$ tenemos un ket de espín antisimétrico (el estado singlete), así que por qué no serían tales kets para $N\geq 3$ ?
Ignorando la parte espacial, y asumiendo $N\geq 3$ si queremos describir $N$ giros idénticos $\sigma_k = \pm$ necesitamos antisimetrizar el ket $|\sigma_1\rangle |\sigma_2\rangle \cdots |\sigma_N\rangle$ de la siguiente manera
\begin {equation} | \Psi\rangle_ { \text {spin}} = \frac {1}{ \sqrt {N}} \sum_ {p \in S_N}sg(p)| \sigma_ {p(1)} \rangle | \sigma_ {p(2)} \rangle \cdots | \sigma_ {p(N)} \rangle \end {Ecuación}
Tomemos, por ejemplo, el siguiente ket (que queremos antisimétrico)
\begin {equation} | \phi\rangle = \underbrace {|+ \rangle\cdots |+ \rangle }_{n} \underbrace {|- \rangle\cdots |- \rangle }_{m} \quad (n+m=N) \end {Ecuación}
Si sólo miramos las permutaciones $p$ que no cambian $|\phi\rangle$ terminamos con un subgrupo $S_n S_m\subset S_N$ , compuesto por:
$S_n$ = permutaciones $\alpha\in S_N$ que no cambian el " $\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$ " y no toque el " $\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$ " parte
y:
$S_m$ = permutaciones $\beta\in S_N$ que no toque el " $\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$ " y no cambie la parte " $\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$ " parte
Con $S_n S_m$ siendo todas las permutaciones de la forma $\alpha \circ \beta$
Pero la cuestión es que la mitad de los elementos de $S_n$ son pares y la otra mitad son Impares, por lo que la siguiente suma es cero:
\begin {align} A(| \phi\rangle ) \stackrel { \text {def}}{=} & \sum_ {p \in S_n S_m} sg(p) | \phi\rangle = \sum_ { \alpha\beta\in S_n S_m} sg( \alpha\beta ) | \phi\rangle = \sum_ { \alpha\beta\in S_n S_m} sg( \alpha )sg( \beta ) | \phi\rangle = \\ = & \sum_ { \alpha\in S_n} \sum_ { \beta\in S_m} sg( \alpha )sg( \beta ) | \phi\rangle = \underbrace { \left ( \sum_ { \alpha\in S_n} sg( \alpha ) \right )}_{0} \sum_ { \beta\in S_m}sg( \beta ) | \phi\rangle = 0 \end {align}
Y un cálculo similar podría haberse hecho para cada permutación de $|\phi\rangle$ Así que, observando que el ket original $|\Psi\rangle_{\text{spin}}$ es una suma de términos como $A(|\phi'\rangle)$ con $|\phi'\rangle$ siendo permutaciones de $|\phi\rangle$ que sí lo cambian (a diferencia de antes), resulta que $|\Psi\rangle_{\text{spin}} = 0$ por cada $N>2$ ¡! (con $|\Psi\rangle_{\text{spin}}$ antisimétrico)
