Categoricity de segundo orden las teorías - precisamente ¿qué significa?

Question

Que yo sepa, se ha comprobado que las teorías de orden segundo de $\mathbb{N}, \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}, \mathbb{C}$ son categóricas. Estoy seguro que este es el caso al menos $\mathbb{N},\mathbb{R}$.

Pero no está claro en lógica de segundo orden lo que realmente es un "conjunto". IE. axiomas que añadirse para conjuntos. Por lo tanto, dado, ¿qué del categoricity implica? ¿Significa en específico si consideramos los conjuntos de primer orden ZFC, entonces el categoricity tiene y todos los modelos son equivalentes?

Answer 1

El punto es que ya suponen que hay algo de la teoría de conjuntos en juego al hablar de segundo orden de la lógica.

En otras palabras, el uso de primer orden de la teoría de conjuntos para hablar de segundo orden "diario de las teorías" como los números naturales, etc.

Diferentes modelos de $\sf ZFC$ puede tener tan diferentes que se establece que consideran como "el verdadero $\Bbb N$". Si $M$ es un modelo de $\sf ZFC$, entonces no se $M_0$ $M_1$ que son primarias equivalente a $M$, pero $M_0$ es contable, y por lo tanto sólo tiene countably muchos "número natural objetos", mientras que $M_1$ es aquel que tiene una cantidad no numerable de "número natural objetos". Ciertamente, estos no son isomorfos, aunque los mismos modelos bastante de acuerdo sobre "cómo las cosas deben verse como".

Así que sí, lo que en realidad tenemos es que de primer orden $\sf ZFC$ demuestra que los de segundo orden, las teorías de la $\Bbb N$ etc. son categóricos. O, si se quiere, dentro de un fijo universo de la teoría de conjuntos, $\Bbb N$ tiene una categoría de segundo orden de la teoría. Pero mudarse a un universo diferente, se pueden producir diferentes teorías y modelos diferentes.

Answer 2

Para complementar Asaf la respuesta, permítanme observar que no son naturales de segundo orden teorías cuya categoricity es indecidible en ZFC. Específicamente, vamos a tomar de segundo orden ZFC ("ZFC$_2$")!

Es fácil demostrar en ZFC que cualquier conjunto de tamaño modelo de ZFC$_2$ (sí, los modelos se requiere que se establece ya, así que esto es redundante; pero vale la pena mencionar de forma explícita ya que a veces la atención acerca de la clase de tamaño de "modelos", y cuando se trabaja con la segunda orden de la lógica es a menudo un tiempo) es (hasta el isomorfismo) de la forma $(V_\alpha,\in)$ $\alpha$ fuertemente inaccesible cardenal. Esto nos dice:

• Esto es consistente con ZFC que ZFC$_2$ no tiene (tamaño) de los modelos. Esta inexistencia declaración es "no es fuertemente inaccesible cardenal".

• Ahora hacer la leve (jeje) suposición de que ZFC + "No es exactamente una inaccesible" y ZFC + "Hay dos inaccessibles" son cada coherente (es evidente que la segunda implica la primera, así que esto es un poco redundante, pero lo que oye). A continuación, el ex demuestra que ZFC$_2$ tiene un conjunto de tamaño del modelo y es, de hecho, categórico, mientras que la última prueba que ZFC$_2$ no es categórica.

La moral estoy tratando de hacer aquí es que los de segundo orden categoricity (y satisfiability) afirma que no puede ser hecho por su propia cuenta; realmente necesitamos un fondo universo de los conjuntos. Por supuesto, cada lógica tiene algún tipo de set-ish compromiso, pero con la de segundo orden, la lógica de la sobrecarga es simplemente ridículo.