Dado un número entero positivo $m$, cómo ¿se puede construir un número entero positivo $k$ tal que $\varphi(n)=k$ tiene exactamente $m$ soluciones?

Question

En este artículo : https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

se afirma que para cada entero positivo $m\ge 2$, existe una significativa entero $k$, de tal manera que $\varphi(n)=k$ tiene exactamente $m$ soluciones en los enteros positivos $n$.

¿Cómo puedo construir un número $k$ para un determinado $m$ ?

Me determinado un $k$$2\le m\le 100$ , pero no he encontrado un útil patrón para ver cómo conseguir un número de arbitrarias $m$

Aquí los valores que he encontrado :

m   k

2  10
3  44
4  4
5  8
6  12
7  32
8  36
9  40
10  24
11  48
12  160
13  396
14  2268
15  704
16  312
17  72
18  336
19  216
20  936
21  144
22  624
23  1056
24  1760
25  360
26  2560
27  384
28  288
29  1320
30  3696
31  240
32  768
33  9000
34  432
35  7128
36  4200
37  480
38  576
39  1296
40  1200
41  15936
42  3312
43  3072
44  3240
45  864
46  3120
47  7344
48  3888
49  720
50  1680
51  4992
52  17640
53  2016
54  1152
55  6000
56  12288
57  4752
58  2688
59  3024
60  13680
61  9984
62  1728
63  1920
64  2400
65  7560
66  2304
67  22848
68  8400
69  29160
70  5376
71  3360
72  1440
73  13248
74  11040
75  27720
76  21840
77  9072
78  38640
79  9360
80  81216
81  4032
82  5280
83  4800
84  4608
85  16896
86  3456
87  3840
88  10800
89  9504
90  18000
91  23520
92  39936
93  5040
94  26208
95  27360
96  6480
97  9216
98  2880
99  26496
100  34272

Answer 1

Este es un teorema de Kevin Ford, en 1999, publicado en los Anales de las Matemáticas. Es un resultado bastante difícil, y la prueba de no ir por encontrar algún patrón en la función de $A(m)$ que asigna el $k$ a todos los $m$. Se conjeturó que hace mucho tiempo por Sierpiński, y resultó con una fuerte conjetura (H-Hipótesis) por Schinzel en 1961. Fue un poco de sorpresa que pudiera ser demostrado la incondicionalidad.

Por supuesto, esto no quiere decir que no hay una "primaria" a prueba de este resultado.

De hecho lema 1.1, en la que el papel de Kevin Ford muestra que, si $A(m)=k$ $p$ es un primo tal que $p>2m+1$, $2p+1$ y $2mp+1$ son el primer y el $dp+1$ está compuesto por todos los $d\mid 2m$ con la excepción de$d=2$$d=2m$,$A(2mp)=k+2$.

Esto puede ser usado para encontrar un número $m$ para un determinado explcit $k$ tal que $A(m)=k$, aunque no se vaya a dar a los más pequeños, e incluso puede ser bastante grande.