contradicción LN(2)

Question

$\ln2\approx.693$, según mi calculadora. Se puede escribir como la suma infinita $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\frac19-\frac1{10}\dots$ $

Reorganización de esta suma infinita de probabilidades y evens da:

$$\left(1+\frac13+\frac15+\frac17+\frac19\dots\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}\dots\right)$$

Esto es igual a:

$$\left(1+\frac13+\frac15+\frac17+\frac19\dots\right)+\left(\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}\dots\right)-2\left(\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}\dots\right)$$

La combinación de los dos primeros paréntesis:

$$\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\dots\right) -2\left(\frac12+\frac14+\frac16+\frac18+\frac1{10}\dots\right)$$

Distribución de los 2:

$$\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\dots\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\frac19+\frac1{10}\dots\right)=0$$

Pero empezamos con la expansión de $\ln2\approx.693$. ¿Vamos de eso a $0$? ¿Dónde hago mi error?

Answer 1

$$ 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\frac19-\frac1{10} + \cdots $$ Tenga en cuenta que \begin{align} 1 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \frac 1 9 + \frac 1 {11} \cdots & =+\infty \\[10pt] \text{and } -\frac 1 2 - \frac 1 4 - \frac 1 6 - \frac 1 8 - \frac 1 {10} - \cdots & = -\infty \end{align} Cuando el positivo y negativo de las partes de una serie convergente de ambos divergen hacia el infinito, y sólo entonces, el valor de la suma puede ser alterado mediante la reorganización de los términos, es decir, añadir en un orden diferente.

Que puede ser visto de la siguiente manera: Supongamos, por ejemplo, que quiero hacer la serie converge a $3.$ Desde los términos positivos suman a $+\infty,$ en algún momento de la adición de ellos obtendrá un número mayor de $3.$, a Continuación, agregar el primer término negativo. Ya que es más grande que el último término positivo, agregó, tendrás un número menor que $3.$, a Continuación, mantenga la adición de términos positivos hasta es más que $3.$, a Continuación, agregue el siguiente término negativo. Y así sucesivamente.