Encontrar un conjunto de funciones continuas con cierta propiedad

Question

Necesito ayuda para encontrar el conjunto de funciones continuas $f : \Bbb R \to \Bbb R$ tales que para todos los $x \in \Bbb R$, converge la integral siguiente:

$$\int_0^1 \frac {f(x+t) - f(x)} {t^2} \ \mathrm dt$$

Estoy pensando que podría ser el conjunto de funciones constantes, pero no he podido comprobarlo :( También he notado que de puede tomar las dos funciones y les pegan (continuamente ampliar uno en el otro) la función que verifica la propiedad en cuestión.

Espero que usted puede proporcionar algunos conocimientos y muchas gracias.

Answer 1

<h2>Respuesta parcial: si $f$ es diferenciable entonces es constante</h2> <p>Escribimos $f(x+h) = f(x) + h g(h)$ $g(h)$ Dónde está continua y $g(0) = f'(x)$.</p> <p>Entonces se convierte el integral requiere:</p> <p>$$\int_0^1 \frac {g(t)} t \ \mathrm dt$$</p> <p>Si WLOG $g(0) > 0$ entonces hay $\delta > 0$ tal que $g(t) > \frac12 g(0)$ cada $0 \le t < \delta$ y entonces:</p> <p>$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \frac {g(t)} t \ \mathrm dt &=& \displaystyle \int_0^\delta \frac {g(t)} t \ \mathrm dt + \int_\delta^1 \frac {g(t)} t \ \mathrm dt \\ &>& \displaystyle \int_0^\delta \frac {g(0)} {2t} \ \mathrm dt + \int_\delta^1 \frac {g(t)} t \ \mathrm dt \\ &=& \infty \end{matriz} $$</p> <p>Así $g(0) = 0$, y $f'(x) = g(0) = 0$ en todas partes, así $f$ es constante.</p>