Generación de un grupo frente a la generación en su abelianization.

Question

De fondo

He estado pasando mucho tiempo en mi investigación con los subconjuntos de grupos que están muy cerca de ser la generación de conjuntos. Para hacer este preciso:

Deje $G$ ser un grupo. Si un subconjunto $S$ $G$ proyectos en un generador de $G/[G,G]$, podemos decir que el $S$ débilmente genera $G$. El siguiente hecho (vea la página 350 en este libro para una prueba) muestra que la debilidad de la generación en nilpotent grupos es una fuerte condición.

Hecho. Deje $G$ ser un nilpotent grupo. Si $S$ débilmente genera $G$, $S$ genera $G$.

A la luz de este resultado, podemos hacer la siguiente pregunta:

¿Existe un finitely presentado pero no nilpotent grupo $G$ de manera tal que cada débilmente generar subconjunto de $G$ genera $G$?

Si dejamos caer la condición de "finitely presentado", a continuación, la primera Grigorchuk grupo es suficiente. Yo estaría muy sorprendido si no finitely se presentaron ejemplos de existir.

La superficie de grupos y grupos gratis

En respuesta a Matt pregunta a continuación: Para el grupo libre $F(a,b)$, la $\{a[[a,b],a],b \}$ débilmente genera pero no genera (se puede mostrar directamente el uso de la singularidad de libremente reducido de forma de la palabra libre en un grupo). Usted puede usar esto para mostrar que cualquier no-abelian superficie cerrada grupo ha subconjuntos que débilmente generar pero no generan. Por ejemplo, en el género de los dos caso, supongamos $G$ tiene el estándar de presentación de los generadores $a,b,c,d$ relación $[a,b][c,d]$. Consideremos el conjunto $S = ${$a,b[[b,c],b],c,d$}. Si este conjunto genera G, entonces se genera la imagen de $G/N$ donde $N$ es normal en el subgrupo generado por a$a$$d$. Esta imagen es un grupo libre generado por las imágenes de $b$$c$. El conjunto S de los proyectos a un conjunto que no generan.

Answer 1

Aquí una pequeña explicación de por qué nilpotent grupos son el único ejemplo posible para la satisfacción de los grupos de suficiente finitud propiedades. Finitely que se presenta es apenas una finitud de la propiedad en todo, así que sin duda no nilpotent ejemplos pueden existir.

No hay finito no nilpotent grupos de tal forma que cada débilmente la generación de set es un set de generación de energía. Si G es un grupo, entonces [G,G] es finito y la enfermedad es simplemente que los elementos de [G,G] puede ser retirado de cualquier generador de G. Esto es simplemente la condición de que [G,G] ≤ Φ(G), donde Φ(G) es la intersección de la máxima subgrupos de G, también conocido como el Frattini subgrupo. Un grupo finito es nilpotent si y sólo si [G,G] ≤ Φ(G) (y, por supuesto, [G,G] ≤ Φ(G) para cualquier nilpotent grupo, finito o no), así que esto explica por qué nilpotent grupos son importantes para esta propiedad.

Grupo G en el que [G,G] es noetherian y cada subgrupo tiene la propiedad de que cada débilmente la generación de set es un set de generación de energía tiene un nombre diferente: estos son los grupos en los que cada subgrupo satisface una muy débil forma de deficiencia, conocido como el "número de serie" (algo así como ser un miembro de una composición de la serie cuyo orden es un tipo bastante arbitraria linealmente conjunto ordenado). Esto se describe en la sección 12.4 de Robinson en la Teoría de Grupos.

Finitely generado soluble grupos han portado bien Frattini subgrupos, de modo que si [G,G] ≤ Φ(G), entonces G es nilpotent. Suponiendo que [G,G] es noetherian, un finitely generado soluble en el grupo G en el que cada débilmente la generación de set es un set de generación de energía es nilpotent. En particular, policíclicos grupos no proporcione ejemplos.