Hace un tiempo atrás que alguien VI afirman que podría ser la regla del producto en cálculo con la regla de la cadena variable única. Él proporcionó una prueba, pero era absolutamente incomprensible. Es fácil de probar de la regla de la cadena variable de múltiple, o de diferenciación logarítmica o incluso de primeros principios. ¿Hay una prueba real utilizando sólo la regla de la cadena variable sola?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Crédito es debido a este video de Mathsaurus, pero también requiere que las reglas de suma y potencia para los derivados.
Que $u$, $v$ ser funciones apropiadas. Considerar el $f = (u+v)^2$. Por la regla de la cadena, $$f^{\prime} = 2(u+v)(u^{\prime}+v^{\prime})=2(uu^{\prime}+uv^{\prime}+vu^{\prime}+vv^{\prime})\text{.}$ $ ahora, ampliar $f$ $f = u^2+2uv+v^2$ de obtener, y luego tenemos $$f^{\prime}=2uu^{\prime}+2(uv)^{\prime}+2vv^{\prime}=2[uu^{\prime}+(uv)^{\prime}+vv^{\prime}]\text{.}$ $ sigue inmediatamente eso $$(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+vu^{\prime}\text{.}$ $
Hitendra
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Aquí es relativamente sencilla que sólo se utiliza la variable única regla de la cadena y algunos de álgebra básica.
Consideremos dos funciones $f,g$ y la expresión de $\frac{d}{dx} (f+g)^2$. Aplicar directamente la regla de la cadena, esta se convierte en 2(f+g)(f'+g').
En lugar de utilizar directamente la regla de la cadena, también se puede multiplicar $(f+g)^2$, y la convierte en la expresión de $\frac{d}{dx}(f^2+2fg+g^2)$, y podemos diferenciar término por término para obtener el $2ff'+2(fg)'+2gg'$.
Puesto que estas dos expresiones son iguales, tenemos $$ 2(f+g)(f'+g')=2ff'+2(fg)'+2gg'$$ El uso de algunos de álgebra, $$2ff'+2fg'+2f'g+2g'g=2ff'+2(fg)'+2gg'$$ $$2fg'+2f'g=2(fg)'$$ $$(fg)'=fg'+f'g$$
Jeanne Holm
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