Me puede resolver una versión más débil del problema, donde en lugar de "1"s en el destino de las desigualdades se sustituyen por "4". Tal vez el trabajo que aquí se puede ayudar a alguien a resolver el problema.
Para cada una de las $1\le i \le n$, vamos a $\def\v{{\bf v}}\v_i$ ser el vector $(a_i,b_i,-c_i,-d_i)$.
El objetivo es resolver la siguiente desigualdad en $n$ variables $x_i$, cada uno igual a $\pm1$,
$$
\sum_{i=1}^n x_i \v_i \le (4,4,4,4)\,\qquad x_i\in \{-1,+1\}\tag 1
$$
Esta es una desigualdad de vectores, lo que significa que la desigualdad debe mantener para cada componente. Establecimiento $x_i=+1$ corresponde a la puesta $i\in Y$, mientras que $x_i=-1$ significa poner a $i\in X$.
Nos deja relajar la restricción en la $x_i$, lo que les permite tomar cualquier valor en el intervalo de $[-1,1]$, pero exigiendo la igualdad:
$$
\sum_{i=1}^n x_i\v_i={\bf 0}\qquad -1\le x_i \le 1,\tag2
$$
donde ${\bf 0}$ es el vector cero. Esto tiene una solución; es decir, el conjunto de cada una de las $x_i=0$.
Puedo afirmar que existe una solución en la que, al menos, $n-4$ de las variables $x_i$ son igual a $\pm 1$.
Prueba de reclamación: Supongamos que existe una solución en la que las variables $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ son todos en $(-1,1)$. Puesto que los vectores $v_1,\dots,v_5$ son linealmente dependientes, existen coeficientes de $c_i$ no todos cero, por lo $\sum c_i v_i=0$. Deje $c_j=0$$j>5$. Entonces, para cualquier $t\ge 0$, también es cierto que los valores de $x_i+tc_i$ resolver la igualdad en $(2)$:
$$
\sum_{i=1}^n (x_i+tc_i)\v_i={\bf 0}
$$
Ahora, dejando $t$ de aumento de $0$ hacia $\infty$ hasta el primer momento en el $x_i+tc_i=\pm1$, obtenemos una solución diferente a $x_i+tc_i$ $(2)$uno más variable igual a $\pm 1$. $\square$
Hasta el momento, hemos encontrado una solución a $(2)$ donde todos menos cuatro de las variables son iguales a $\pm1$. WLOG estas cuatro variables se $x_1,x_2,x_3,x_4$. Ahora, en lugar de establecer
$$
x_1'=1,\quad x_2'=1,\quad x_3'=-1,\quad x_4'=-1
$$
Desde $x_1'-x_1\le 2$$x_2'-x_2\le 2$, se deduce que el $$x_1'a_1+x_2'a_2+x_3'a_3+x_4'a_4+\sum_{i=5}^n x_i a_i\le (2+x_1a_1)+(2+x_2a_2)+x_3a_3+x_4a_4+\sum_{i=5}^n x_i a_i=4+0$$
por lo que la igualdad en $(1)$ está satisfecho.
