Conjuntos convexos compactos y puntos extremos

Question

Hay ejemplos que muestran que el conjunto de puntos extremos de un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo no tiene por qué ser cerrado cuando la dimensión real del espacio es al menos 3. ¿Es cierto que el conjunto de puntos extremos de un subconjunto convexo compacto debe ser cerrado si el espacio localmente convexo en cuestión tiene dimensión 2?

Answer 1

Por definición, un punto límite de extremo no se encuentra en un segmento de línea abierta contenido en el sistema, que pasa a ser un subconjunto abierto de la frontera en dos dimensiones. Por lo tanto, el conjunto de puntos extremos es un subconjunto cerrado del límite.

Answer 2

[Sólo una observación histórica.] Que yo sepa, el hecho de que se debe cerrar el conjunto de todos los puntos extremos de un subconjunto compacto convexo de $\mathbb{R}^{2}$ está debido al legendario matemático americano G. precio Baley (1905-2006), en "En los puntos extremos de convexa fija", duque Math. J. volumen 3, número 1 (1937), 56-67 (página 62).