Estática comparativa para la ecuación quíntica

Question

Tengo un quintic ecuación en $x$ con coeficientes de $a_0,\ldots,a_5$ cuales son las funciones de algunos exógenos parámetro $\alpha$:

$$a_0(\alpha)+a_1(\alpha)x+a_2(\alpha)x^2+a_3(\alpha)x^3+a_4(\alpha)x^4+a_5(\alpha)x^5=0$$

Yo sé que no puedo encontrar una solución explícita para$x$, en general, por el de Abel–Ruffini Teorema. Sin embargo, me pregunto si me puede decir algo sobre el cambio de la solución en $\alpha$. I. e., si $x^*$ es una solución para la ecuación, puedo decir algo (magnitud, signo) acerca de $\frac{\partial x^*}{\partial\alpha}$? No he conseguido aplicar algunas Teorema de la Función Implícita o Teorema de la Envolvente.

En mi caso particular, he a $a_5$ $a_4$ independiente de $\alpha$ sólo en caso de que esto simplifica la respuesta. Muchas gracias!

Answer 1

Vamos $$ p(\alpha,x)=a_0(\alpha)+a_1(\alpha)x+a_2(\alpha)x^2+a_3(\alpha)x^3+a_4(\alpha)x^4+a_5(\alpha)x^5. $$ Supongamos $\frac{\rm d}{{\rm d} x} p(\alpha,x)\Big|_{x=x^\ast}\neq 0$. Aquí $x^\ast$ es un fijo de la raíz de $p(\alpha,x)$ fijos $\alpha$. Entonces por el teorema de la función implícita existe un abierto retangle $(a,b)\times (c,d)$ tal que $\alpha\in (a,b)$, $x^\ast\in (c,d)$ y una analítica de la función $$ (a,b)\ni \alpha\mapsto x(\alpha)\en (c,d). $$ tal que $$ p(\alpha,x(\alpha))=0, \forall \alpha\in(a,b) $$ y $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d} \alpha}x(\alpha) = -\frac{\frac{{\rm d}}{{\rm d} \alpha}p(\alpha,x)}{\frac{{\rm d}}{{\rm d} x}p(\alpha,x)} =- \frac{ a_0'(\alpha)+a_1'(\alpha)x+a_2'(\alpha)x^2+a_3'(\alpha)x^3 } { a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 }, $$ para todos los $(\alpha,x)=(\alpha,x(\alpha))\in (a,b)\times(c,d).$

Answer 2

Deje $J \subset \Bbb R$ ser algún intervalo abierto, y supongamos que tenemos una familia de polinomios $p_\alpha(x) \in \Bbb C[x]$, los coeficientes de los cuales dependen suficientemente differentiably (creo $C^1$ obras) en algún parámetro real $\alpha \in J$, con el consiguiente

$p_\alpha(x) = \sum_0^n p_i(\alpha)x^i. \tag 1$

Deje $x^\ast_0 \in \Bbb C$ ser un cero de $p_\alpha(x)$ algunos $\alpha = \alpha_0 \in J$; es decir,

$p_{\alpha_0}(x_0^\ast) = \sum_0^n p_i(\alpha_0)(x_0^\ast)^i = 0. \tag 2$

Si

$\dfrac{\partial p_{\alpha_0}(x_0^\ast)}{\partial x} \ne 0, \tag 3$

entonces se sigue del teorema de la función implícita de que existe una real $\epsilon > 0$ tal que, para $\alpha \in I = (\alpha_0 - \epsilon, \alpha_0 + \epsilon) \subset J$, no es una función derivable $x^\ast(\alpha): I \to \Bbb C$ satisfactorio

$p_\alpha(x^\ast(\alpha)) = 0, \tag 4$

es decir,

$\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i = 0 \tag 5$

con $x^\ast(\alpha_0) = x_0^\ast$.

Tener la existencia de una $x^\ast(\alpha)$ en la mano, de hecho podemos proceder a encontrar una expresión para $\dot x^\ast(\alpha)$, $\alpha \in I$, donde el punto de $\dot {}$ denota la diferenciación con respecto a $\alpha$,

$\dot x^\ast (\alpha) = \dfrac{dx^\ast(\alpha)}{d\alpha} \tag 6$

y así sucesivamente; si aplicamos la regla de la cadena a (4)-(5) encontramos

$\dfrac{d\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i}{d\alpha} = \dfrac{\partial}{\partial \alpha} (\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i) + \dfrac{\partial}{\partial x}((\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i)\dot x(\alpha) = 0, \tag 7$

con

$\dfrac{\partial}{\partial \alpha} (\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i) = \sum_0^n \dot p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i, \tag 8$

y

$\dfrac{\partial}{\partial x}((\sum_0^n p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i) = (\sum_1^n i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1}; \tag 9$

la inserción de estos en (7) tenemos

$ \sum_0^n \dot p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i + \dot x^\ast(\alpha)\sum_1^n i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1} = 0; \tag{10}$

si ahora suponemos que (3) se mantiene, es decir,

$\sum_1^n i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1} \ne 0 \tag{11}$

para $\alpha \in I$, podemos resolver (9) por $\dot x^\ast(\alpha)$:

$\dot x^\ast(\alpha) = -\dfrac{ \sum_0^n \dot p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i}{\sum_1^n i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1}}, \tag{12}$

que describe la forma en que el cero $x^\ast(\alpha)$ se mueve a medida que variamos $\alpha \in I$. De hecho, (12) puede ser pensado como una ecuación diferencial ordinaria para $x^\ast(\alpha)$, con la condición inicial $x^\ast(\alpha_0) = x^\ast_0$. Además, no hay nada de excepcional sobre la fijación de $p_\alpha(x^\ast(\alpha)) = 0$; podríamos empezar con cualquier $x(\alpha_0)$ e la misma ecuación de la(s) pista del camino de $x(\alpha)$ tal que

$p_\alpha(x(\alpha)) = p_0, \in \Bbb C, \; p_0 \; \text{fixed}. \tag{13}$

Vale la pena señalar, creo, que la condición (11) es, precisamente, el algebraicas criterio para $x^\ast(\alpha)$ a ser un cero de $p_\alpha(x)$ de multiplicidad uno. Quizás similar existen fórmulas al $x^\ast(\alpha)$ es de multiplicidad mayor; estos pueden involucrar a tomar mayor derivados de las diversas expresiones dadas anteriormente.

Es fácil especializan las fórmulas anteriores para el caso de $n = 5$, el quintic caso; con (1) toma la forma

$p_\alpha(x) = \sum_0^5 p_i(\alpha)x^i, \tag{14}$

vemos que $\dot x^\ast(\alpha)$ dada por (12) se convierte en

$\dot x^\ast(\alpha) = -\dfrac{ \sum_0^5 \dot p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i}{\sum_1^5 i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1}}$ $= -\dfrac{\dot p_5(\alpha)(x^\ast(\alpha))^5 + \dot p_4(\alpha)(x^\ast(\alpha))^4 + \dot p_3(\alpha)(x^\ast(\alpha))^3 + \dot p_2(\alpha)(x^\ast(\alpha))^2 + \dot p_1(\alpha)x^\ast(\alpha) + \dot p_0(\alpha)}{5p_5(\alpha)(x^\ast(\alpha))^4 + 4p_4(\alpha)(x^\ast(\alpha))^3 + 3p_3(\alpha)(x^\ast(\alpha))^2 + 2p_2(\alpha)x^\ast(\alpha) + p_1(\alpha)} \tag{15}$

y si asumimos, además, que $p_5$ $p_4$ no dependen $\alpha$, esta expresión se simplifica a

$\dot x^\ast(\alpha) = -\dfrac{ \sum_0^5 \dot p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^i}{\sum_1^5 i p_i(\alpha)(x^\ast(\alpha))^{i - 1}}$ $= -\dfrac{\dot p_3(\alpha)(x^\ast(\alpha))^3 + \dot p_2(\alpha)(x^\ast(\alpha))^2 + \dot p_1(\alpha)x^\ast(\alpha) + \dot p_0(\alpha)}{5p_5(\alpha)(x^\ast(\alpha))^4 + 4p_4(\alpha)(x^\ast(\alpha))^3 + 3p_3(\alpha)(x^\ast(\alpha))^2 + 2p_2(\alpha)x^\ast(\alpha) + p_1(\alpha)}. \tag{16}$