Encontrar$n$ tal que$\frac{n^4 + 1}{n^2 +n + 1}$ es un número entero

Question

Encuentra todos los enteros de forma que$\dfrac{n^4 + 1}{n^2 +n + 1}$ sea un entero.

No tengo idea de cómo resolver cosas como esta y lo que traté de hacer no me llevó a ninguna parte. ¡Estaría agradecido por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia: Divida un polinom por otro y considere el resto.

Answer 2

INSINUACIÓN:

ps

ps

Entonces,$$n^4+n^2+1=(n^2)^2+1^2+n^2=(n^2+1)^2-n^2=(n^2-n+1)(n^2+n+1)$ debe dividir$$\implies \frac{n^4+1}{n^2+n+1}=n^2-n+1-\frac{n^2}{n^2+n+1}$

Pero$n^2+n+1$ (Prueba a continuación)

$n^2$ como$(n^2,n^2+n+1)=1$ siendo denominador$\implies n^2+n+1=\pm1$

Si$ n^2+n+1$ no es real.

Si $\ne0$

[

Prueba: si prime$ n^2+n+1=-1\implies n^2+n+2=0\implies n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot2}}2=\frac{-1\pm\sqrt7i}2$ divide ambos$ n^2+n+1=1\implies n(n+1)=0\implies n=0,-1$

$p>1$ dividirá$n^2, n^2+n+1$

Como$p$ es primo,$(n^2+n+1)-n^2=n+1$ divide$p$ divide$p$

Entonces$n^2\implies p$ divide$n$ clara contradicción como$p$

]

Answer 3

Al hacer la división de polinomios elementales, obtenemos:

$\frac{n^4 + 1}{n^2 +n + 1}=n^2-n+ \frac{n+1}{n^2+n+1}$

No necesitamos considerar ahora$n^2-n$ ya que siempre es un número entero (para enteros$n$). Luego observe$|\frac{n+1}{n^2+n+1}|\leq1$. Entonces no tenemos muchas posibilidades de que sea un número entero; es $-1$, $0$, $1$. Escriba cada caso de igualdad explícitamente y vea fácilmente que las soluciones son:$n=0$ y$n=-1$.