¿Dónde está el error en la prueba de que$\lim_{x\to \infty } \left(\frac{1}{\ln (x)}\right) = 1$?

Question

Creo que sé dónde está el problema, yo no sé por qué está mal:

Empezamos con

$$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{x}{x\ln (x)}\right).$$

Normalmente nos acaba de cancelar el $x$'s en la fracción para obtener

$$\lim_{x\to \infty }\left(\frac{1}{\ln (x)}\right).$$

Pero, he leído en alguna parte que

$$\lim_{x\to a}\left({f(x)g(x)}\right) = \lim_{x\to a }\left({f(x)}\right)\times\lim_{x\to a }\left({g(x)}\right).$$

No pudimos a continuación, utilizarlo para expresar $\lim_{x\to \infty }\left(\frac{x}{x\ln (x)}\right)$

$$\lim_{x\to \infty }\left({\frac{x}{\ln (x)}}\right)\times\lim_{x\to \infty }\left({\frac{1}{x}}\right),$$

y mediante el uso de L'Hospital de la Regla,

$$ \begin{align} \lim_{x\to \infty }\left({\frac{x}{\ln (x)}}\right)\times\lim_{x\to \infty }\left({\frac{1}{x}}\right) &= \lim_{x\to \infty }\left({x}\right)\times\lim_{x\to \infty }\left({\frac{1}{x}}\right)\\ &= \lim_{x\to \infty }\left({\frac{x}{x}}\right)\\ &= \lim_{x\to \infty }\left({1}\right)=1. \end{align} $$

Creo que el problema se produce cuando se divide el límite en dos, pero no puedo ver por qué eso es un problema.
Les agradecería mucho si alguien me pudiera decir dónde está el problema de por qué es un problema.

Answer 1

Tienes razón, el problema se produce cuando se divide el límite en dos.

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Pero he leído en alguna parte que: $\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = \lim_{x \to a} (f(x)) \times \lim_{x \to a} (g(x))$.

Esto no es cierto en general. Se puede dividir el límite en la forma anteriormente indicada sólo cuando ambos límites en el lado derecho de existir.

En este caso, te darás cuenta de que $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln x} = \infty$, por lo que no está permitido escribir

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln x} \times \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}. $$