Integral de $\frac{1}{x^2+x+1}$ y $\frac{1}{x^2-x+1}$

Question

Cómo integrar dos integrales muy similares. Estoy buscando el enfoque más sencillo para que, no puede ser sofisticado demasiado tanto como nivel del este fue tomado del libro de texto no es muy alto. $$\int \frac{1}{x^2+x+1} dx$$ and$$\int \frac{1}{x^2-x+1} dx$$

Answer 1

Para el primero:

$$ \int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 }+x } } dx\quad =\quad \quad \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+x+\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } dx } \\ \qquad \qquad \qquad \qquad =\quad \int { \frac { 1 }{ { \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } } dx } \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { 4 }{ 3 } \int { \frac { 1 }{ 1+{ \left( \sqrt { \frac { 4 }{ 3 } } \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) \right) }^{ 2 } } } dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { 2 }{ \sqrt{3} } \arctan { \left( \frac { 2 }{ \sqrt{3} } \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) \right) } +C $$

El segundo será el mismo, sólo una menos que en lugar de un "plus":

$$ \frac { 2 }{ \sqrt{3} } \arctan { \left( \frac { 2 }{ \sqrt{3} } \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) \right) } +C $$

He aquí una fórmula general para $\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx$, cuando se $b^2-4ac<0$:

$$ \int { \frac { 1 }{ a{ x }^{ 2 }+bx+c } } dx\quad =\frac { 1 }{ a } \quad \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } } } dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { 1 }{ a } \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } +\frac { c }{ a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } } dx } \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { 1 }{ a } \int { \frac { 1 }{ { \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 }+\frac { c }{ a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } } } dx\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { 1 }{ un\left( \frac { c }{ a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } \right) } \int { \frac { 1 }{ 1+{ \left( \frac { x+\frac { b }{ 2a } }{ \sqrt { \frac { c }{ un } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } } } \right) }^{ 2 } } dx } \\ \qquad \qquad \qquad \quad =\quad \frac { \sqrt { \frac { c }{ a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } } }{ c-\frac { { b }^{ 2 } }{ 4 } } \arctan { \left( \frac { x+\frac { b }{ 2a } }{ \sqrt { \frac { c }{ a } -\frac { { b }^{ 2 } }{ 4{ a }^{ 2 } } } } \right) } +C $$

Answer 2

En ambos casos, completar el cuadrado, sustituto y utilizar

$$\int\frac 1{u^2+1}\,du=\tan^{-1}u$$

Completando el cuadrado le da

$$\int\frac 1{x^2+x+1}\,dx=\int\frac 1{\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34}\,dx$$

La segunda es similar,

$$\int\frac 1{x^2-x+1}\,dx=\int\frac 1{\left(x-\frac 12\right)^2+\frac 34}\,dx$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Escriba $x^2\pm x+1=\left(x\pm\frac12\right)^2+\frac34$. Entonces, hacer uso

$$\int \frac{1}{t^2+a^2}dt=\frac1a \arctan(t/a)+C$$

$a>0$

SPOILER ALERT: DESPLAZAMIENTO SOBRE EL ÁREA SOMBREADA PARA VER LA RESPUESTA

$$\int \frac{1}{x^2\pm x+1}\,dx=\int \frac{1}{\left(x\pm\frac12\right)^2+\frac34}\,dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x\pm \frac12\right)\right)+C$$

Answer 4

Para el primero de ellos, escriba $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$ y el segundo un $x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4$ estos son arctan

Answer 5

En primer lugar recordar que si $a,b,c$ son números reales, a continuación, $ax^2+bx+c$ puede ser factorizado el uso de los números reales si y solo si $b^2-4ac\ge 0$. Para su primer polinomio por encima de usted tiene $a=b=c=1$$b^2-4ac=-3$, por lo que tendría de los números complejos para el factor.

A continuación, recordar que no es una técnica estándar de álgebra para la reducción de un problema que implica un polinomio cuadrático con un primer grado término de un polinomio cuadrático con ninguna de primer grado plazo, es decir, completar el cuadrado. Usted obtener $$ x^2+x+1 = \left( x^2 + x + \frac 1 4 \right) + \frac 3 4 = \left( x + \frac 1 2 \right)^2 + \frac 3 4. $$ A continuación, te gustaría $\displaystyle \int \frac 1 {(\text{square})+1} \, dx$, de modo que usted consiga un arco tangente. Por lo que escribir $$ \left( x + \frac 1 2 \right)^2 + \frac 3 4 = \frac 3 4 \left( \left( \frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)^2 + 1 \right) = \frac 3 4 (u^2 + 1) \quad\text{y}\quad dx = \frac{\sqrt 3} 2\, du. $$