¿Cómo debo entender $f^{-1}(E):=\{x\in A:f(x)\in E\}$ ?

Question

Entiendo el concepto, pero sigo sin saber cómo leer la notación:

$$f^{-1}(E):=\{x\in A:f(x)\in E\}$$

He entendido el concepto gracias a los ejemplos, no con la notación. ¿Puede alguien traducir /¿Explícame cómo leerlo?

Estoy pensando que significa: Todos los números que al ser evaluados, darán como resultado $f(x)$ , pude encontrar una imagen inversa en $f(x)=x^2+x$ por ejemplo: Considere $A=\{2,-3\}$ y $B=\{6\}$ donde $A$ es la imagen inversa, para esto solo tomé el procedimiento que encontré en wikipedia .

Por ejemplo, para la función $f(x) = x^2$ la imagen inversa de $\{4\}$ sería $\{-2,2\}$ .

Pero me confundí cuando leí esto:

$x^2+x$ no es invertible como función en R. ¿Estás restringiendo el dominio?

¿Qué pasa?

Answer 1

Si tiene una función $f:A \to B$ siempre se puede definir un set-valued inversa $f^{-1}(E)$ como en el caso anterior, es decir, todos los elementos de $A$ que se asignan al conjunto $E \subset B$ .

Puede estar vacío, como en $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$ entonces $f^{-1} [-2,-1] = \emptyset$ .

Puede tener muchos valores como en $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 1$ entonces $f^{-1} \{1\} = \mathbb{R}$ .

Puede ser un singleton como en $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^3$ entonces $f^{-1} \{y\} = \{ \sqrt[3]{y} \}$ .

Tenga en cuenta que $f^{-1}(E) \subset A$ es un conjunto.

Sin embargo, si resulta que $f^{-1} \{ y \}$ es un singleton para todos los $y \in B$ entonces se puede definir una función inversa, que (confusamente) también se denota con el mismo símbolo. En este caso tenemos (la función) $f^{-1}(y) = x$ , donde $x \in f^{-1}\{y\}$ (este $f^{-1}$ es el inverso del conjunto, recordemos que aquí suponemos que es un singleton).

Answer 2

Recordemos que en las matemáticas modernas las funciones son también relaciones, es decir, conjuntos de pares ordenados. Dada una relación $R$ podemos hablar de la relación inversa, $R^{-1}=\{\langle y,x\rangle\mid \langle x,y\rangle\in R\}$ .

Para entender la relación inversa simplemente hay que pensar en una relación como un montón de flechas entre puntos, y la relación inversa no es más que la inversión de estas flechas.

Ahora debería ser más sencillo de entender $f^{-1}(E)$ . Esta es la relación inversa de $f$ . Tenga en cuenta que si $f$ es inyectiva, entonces $f^{-1}(x)$ es a lo sumo un punto, y que define una función (en un subconjunto del codominio); pero esto es irrelevante para el punto principal: " $f^{-1}(E)$ es la imagen de $E$ bajo la relación inversa de $f$ "

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A nivel general, cuando escribimos $\{x\mid \varphi(x)\}$ (el $\mid$ se sustituye a veces por $\colon$ ) definimos una colección, ingenuamente un conjunto, que incluye todo los objetos $x$ tal que $\varphi(x)$ es cierto para ellos.

Cuando escribimos $\{x\in A\mid\varphi(x)\}$ nos referimos a $\{x\mid x\in A\land\varphi(x)\}$ . De este modo, limitamos nuestra colección a los elementos de $A$ . Esta es una solución para varias posibles paradojas de la teoría de conjuntos ingenua cuando suponemos que $A$ es un conjunto, y el resultado es un conjunto.

Answer 3

Su definición también se llama la preimagen/previo a la imagen de $E$ el subconjunto del dominio $A$ que se asigna a $E$ . Dibuja un diagrama de tipo Venn, una región para $A$ y una flecha de $A$ a un conjunto $B$ la imagen de $A$ dentro de la gama. Ahora imagine que $E$ es un conjunto que tiene intersección no vacía con $B$ . ¿Qué elementos de $A$ se mapean en $E$ (o, más exactamente, en su intersección con $B$ )? Puede perfeccionar su diagrama dividiendo $A$ en una parte que se mapea bajo $f$ en $E$ y otra parte que se asigna al resto de $B$ . La primera parte es la imagen previa de $E$ en $A$ .

Answer 4

Por ejemplo $f:R \rightarrow [-1,1]$ como $f(x)= sin(\pi x)$ dejar $E= \{1\}$ entonces $f^{-1}(E)=\{x\in R:f(x)\in E\}= \{\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{9}{2},..\}$ Porque $f(\pm \frac{1}{2})=1 \in E$ , $f(\pm \frac{5}{2})=1 \in E$ y así sucesivamente.

pero no podemos definir una función $g:[-1,1] \rightarrow \mathbb R$ para ser $f^{-1}$ en todo el dominio de $f$ porque entonces $g$ no está bien definido, es decir $g(1)$ tiene infinitos valores, por lo que hay que restringir $f$ en algún intervalo como por ejemplo $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ en lugar de $\mathbb R$ en este caso $g(y)$ sólo tiene una imagen en $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ , $\forall y \in [-1,1] $ .

Answer 5

La inversa de un punto es un conjunto. Por lo tanto, no se puede definir un punto bien definido como la imagen inversa. Por lo tanto no es una función. como $f^{-1}(6)=\{2,-3\}$ Entonces, ¿cuál es la imagen inversa que defines?