Una adivinanza sobre números enteros positivos

Question

Dos chicos A y B dicen al profesor un número entero positivo cada uno, pero ninguno de ellos sabe el número del otro. El profesor escribe dos enteros positivos en la pizarra y declara que uno de ellos es la suma de los dos números.

Luego le pregunta a A: "¿puedes adivinar la suma de los dos números?". Si la respuesta es "no", el profesor le hace la misma pregunta a B. Supongamos que los chicos son sinceros e inteligentes. Demuestra que una de las respuestas será finalmente "sí".

No tengo ni idea de por dónde empezar. Intenté tomar algunos ejemplos para ver si la respuesta es afirmativa, ¡pero parece que los chicos son más inteligentes que yo!

Answer 1

Una forma útil de pensar en el problema es imaginar que los dos chicos no son dijo a En lugar de ello, se les da a cada uno una caja con un cierto número de monedas, se les dice que cuenten en privado sus monedas y, a continuación, el profesor escribe dos números (positivos) en la pizarra, uno de los cuales es el número total correcto de monedas entre las dos cajas. Además, cada vez que un niño responde "No", el profesor saca una moneda de la caja de ese niño y, en consecuencia, disminuye en uno los dos números escritos (ya que todos saben que se ha sacado una moneda).

Ahora está claro que esto no puede continuar para siempre. En particular, tan pronto como la caja de un chico esté vacía y los dos números escritos sean, digamos $M$ y $N$ con $M\lt N$ Ese chico sabe que el otro chico dirá "Sí" si su caja tiene $N$ monedas en él (porque sabrá que el total no puede ser menos que el número de monedas en su caja), así que si dice "No", su caja debe tener $M$ monedas en ella, tras lo cual el chico con la caja vacía podrá decir "Sí" en su siguiente turno.

Answer 2

Dejemos que A esté dado $a$ y B sea dado $b$ . Que los números de la pizarra sean $x,y$ con $x \lt y$ Incluso antes de cualquier pregunta sabemos que $a,b \lt y$

Cuando A dice que no la primera vez, se nos dice $a \lt x$ porque si fuera mayor o igual A sabría que la suma es $y$ .

Cuando B dice que no la primera vez se nos dice $b \lt x$ por la misma razón que la anterior. También se nos dice $b \gt y-x$ porque si fuera menor B sabría que la suma es $x$ .

Ahora cuando A dice que no la segunda vez sabemos $a \lt 2x-y$ porque de lo contrario A sabría que la suma es mayor que $x$ y tendría que ser $y$

A medida que avancemos los rangos se reducirán en $y-x$ cada vez. Al final el rango será menor que cero y se conocerá la suma.

Answer 3

Llamemos a $A,B,S,X$ respectivamente, los números contados por el niño A, por el niño B, la suma correspondiente y el otro número escrito por el profesor.

Está claro que el problema no cambia si sumamos o restamos la misma cantidad de $B,S,X$ o de $A,S,X$ .
Así, podemos suponer que el mínimo de los cuatro números es $0$ .

a) si la suma $S$ es $0$
el chico A no puede decidir entre $S$ y $X$ pero su indecisión inducirá a B a dar la respuesta correcta.

b) si $X$ es $0$
el chico A puede decidir por $S$ .

c) si $A$ es $0$
el chico A no puede decidir entre $S$ y $X$ pero su indecisión inducirá a B a dar la respuesta correcta.

d) si $B$ es $0$
el chico A puede decidir si $X<S$ De lo contrario, su indecisión inducirá a B a dar la respuesta correcta.