Espectáculo: $\mathbb{E}(f|\mathcal{F})=\mathbb{E}(f)$

Question

Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad y $\mathcal{F}$ a sub- $\sigma$ -álgebra. Sea $\mathcal{F}$ sea trivial, es decir $\forall A\in\mathcal{F}: \mathbb{P}(A)\in\left\{0,1\right\}$ . Demuestre que $\mathbb{E}(f|\mathcal{F})=\mathbb{E}(f)$ .

Un criterio para demostrarlo es demostrar que $$ \forall A\in\mathcal{F}: \int_A\mathbb{E}(f)\, d\mathbb{P}=\int_Af\, d\mathbb{P}. $$

No sé exactamente cómo mostrar que en común.

Para el caso especial $\mathcal{F}=\left\{\Omega,\emptyset\right\}$ es $$ \int_{\emptyset}\mathbb{E}(f)\, d\mathbb{P}=0=\int_{\emptyset}f\, d\mathbb{P},~\int_{\Omega}\mathbb{E}(f)\, d\mathbb{P}=\mathbb{E}(f)\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{E}(f)=\int_{\Omega}f\, d\mathbb{P}. $$

Pero ¿cómo puedo demostrar que si $\mathcal{F}$ es trivial, pero no $\mathcal{F}=\left\{\Omega,\emptyset\right\}$ ?

Answer 1

Sugerencia: Para cada $A$ en $\mathcal A$ tal que $\mathbb P(A)=1$ se tiene $\displaystyle\int_Af\,\mathrm d\mathbb P=\mathbb E(f)$ . Para cada $A$ en $\mathcal A$ tal que $\mathbb P(A)=0$ se tiene $\displaystyle\int_Af\,\mathrm d\mathbb P=0$ .