Polinomio y operador en el espacio de Hilbert

Question

Soy capaz de no mostrar el punto 2 de este ejercicio:

Que $H$ ser un espacio de Hilbert y $T : H \to H $ un operador compacto uno mismo-adjoint. Supongamos que existe un polinomio $p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con real solamente ceros % s.t. $p(T)=0$. Mostrar

1. Si $dim(H) = \infty $ $0$ es un valor propio de $T$
2. Si $p(s)>0$ cuando $s

Yo he probado 1 pero no tengo ni idea de cómo probar 2!

Answer 1

<ol start="2"> <li>El polinomio $p$ asigna el espectro de $T$ $0$ porque $\{0\}=\sigma(p(T))=p(\sigma(T))$. Así $p$ mapas todos los puntos del espectro de $T$ $\{0\}$, y el espectro de $T$ es real, del que se deduce que el espectro de $T$ debe deberse en $[0,\infty)$ $p(s) > 0$ $s < 0$. Que está contenido el espectro del operador selfadjoint $T$ $[0,\infty)$ es equivalente a $\langle Tx,x\rangle \ge 0$ % todos $x\in H$.</li> </ol>

Answer 2

Para un determinado $x\in H$, considere la restricción $T|_S$ % subespacio $S:=\mathrm{span}(x, Tx, T^2x, \dots T^{n-1}x) $.
Desde $p(T) =0$, tenemos $T^nx\in S$, por lo que es de $S$ $T$-invariante.

Ahora, el polinomio mínimo de $T|_S$ divide $p$, por lo que tiene sólo las raíces reales no negativos, por lo tanto es positivo $T|_S$ semidefinite y en particular $\langle Tx, x\rangle \ge0$.

Answer 3

El teorema espectral implica

$$p(\sigma(T)) = \sigma(p(T)) = \sigma(0) = {0}$$

por lo tanto $\sigma(T)$ está contenido en el conjunto de ceros de $p$ de od.

Por la Asunción, $s 0$. Por lo tanto, los ceros de $p$ se encuentran en $[0, +\infty\rangle$, que implica $\sigma(T) \subseteq [0, +\infty\rangle$.

Por lo tanto, $T$ es un operador positivo sentido $\langle Tx,x\rangle \ge 0, \forall x \in H$.