Convergencia puntual a una función constante en un espacio compacto

Question

Me gustaría demostrar que no existe ninguna secuencia de homeomorfismos de un espacio métrico compacto que converja puntualmente a alguna función constante. Sin embargo, no estoy seguro de que este resultado sea cierto; en el caso de que exista tal secuencia me gustaría ver un ejemplo...

Para ser más precisos, tenemos un espacio métrico compacto $K$ (que no es un punto único) y me gustaría saber si existe alguna secuencia $(f_n)_n$ donde $f_n : K \to K$ es un homeomorfismo para cada $n$ , de tal manera que $f_n \to f$ en un punto en el que $f : K \to K$ es una función constante.

Tuve una idea para demostrar que no existe tal secuencia, pero no parece funcionar perfectamente... Aquí está mi idea (tal vez podría ayudar) :

Supongamos que $(f_n)_n$ es una secuencia de este tipo, que converge puntualmente a $f : K \to K : x \mapsto y \quad \forall x \in K$ (donde $y$ es algún punto fijo de $K$ ). Sea $\epsilon > 0$ sea tal que $B(y, \epsilon)$ (la bola abierta centrada en $y$ de radio $\epsilon$ ) es un subconjunto propio de $K$ . Para cada $n$ , $f_n^{-1}(B(y, \epsilon))$ es un subconjunto abierto de $K$ . Así que $\left\{f_n^{-1}(B(y, \epsilon)) \mid n \in \mathbb{N}\right\}$ es una cubierta abierta de $K$ ya que para cada $x \in K$ hay algo de $n$ tal que $f_n(x) \in B(y, \epsilon)$ . Por la compacidad de K, hay alguna $N$ para lo cual $\left\{f_n^{-1}(B(y, \epsilon)) \mid n \leq N\right\}$ cubre K. Esto $N$ es tal que para cada $x \in K$ Hay un poco de $n \leq N$ para lo cual $f_n(x) \in B(y, \epsilon)$ . Esto se parece un poco a la convergencia uniforme de $(f_n)_n$ , pero esto es trivial que $f_n$ no puede converger uniformemente a $f$ . Me gustaría encontrar alguna contradicción aquí pero no encuentro la manera de concluir...

Como ya he dicho, no estoy totalmente convencido de que no exista tal secuencia. Sin embargo, cuando intento construir un ejemplo de tal $(f_n)_n$ no puedo imaginar una secuencia que no sea tal que si $f_n(x) \in B(y, \epsilon)$ para algunos $n$ , $x$ , $\epsilon$ entonces $f_m(x) \in B(y, \epsilon)$ para cada $m \geq n$ . No hay manera de que tal secuencia pueda hacer el truco, por el razonamiento explicado anteriormente.

¿Podría ayudarme, por favor? Gracias de antemano,

Nicolás

Answer 1

Parece un problema difícil, pero de hecho hay contraejemplos sencillos. Tomemos, por ejemplo, la compactación en un punto de los reales, $K = \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$ . Esto es metrizable, ya que es homeomorfo a un círculo. Entonces se puede definir $$f_n(x) = \cases{ \infty & when $ x = \infty$ \\ x+n & otherwise.} $$ Es fácil comprobar que se trata de homeomorfismos y que $\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = \infty$ por cada $x$ .