¿Es posible construir topología compacto de Hausdorff en cada set?

Question

Me gustaría saber si es posible construir topología compacto de Hausdorff en cada sistema. Asume el axioma de la opción si es necesario. Gracias por las ideas.

Answer 1

Sí. Que $X$ ser cualquier conjunto no vacío. Quizás la forma más fácil es fijar un $p\in X$, que $Y=X\setminus{p}$ y establecer

$$\tau=\wp(Y)\cup{X\setminus F:F\subseteq Y\text{ and }F\text{ is finite}}\;.$$

Entonces $\tau$ es una topología de Hausdorff compactada en $X$. Es fácil comprobar que es Hausdorff. Si $\mathscr{U}$ es cualquier cubierta abierta de $X$, hay un $U_0\in\mathscr{U}$con $p$ y $X\setminus U_0$ es finito y por lo tanto cubierto por solamente finito muchos miembros más del $\mathscr{U}$.