¿Cómo puedo encontrar componentes de un tensor (1,2)?

Question

Por favor alguien puede ayudarme con las siguientes preguntas? Estoy muy perdido en cuanto a lo que están pidiendo o ¿cómo se puede ir sobre la solución de ellos. He intentado mi mejor para analizar la cuestión tanto como sea posible.

Deje $A_{jk}^{i}$ ser los componentes de una $(1,2)$ tensor en $\mathbb{R}^3.$ Supongamos que en un punto de $x \in \mathbb{R}^3, A_{jk}^{i} = (i+j)k$$x$.

una. Evaluar $A_{i2}^i$ Sé que esto es $(i+i)2 = (2i)2 = 4i$ pero no sé lo que esto significa o si esta es la respuesta.

b. Evaluar $A_{3\alpha}^\alpha$ De nuevo, es el mismo problema por lo que he a $(\alpha+3)\alpha = \alpha^2 +3\alpha$

c. Cómo muchos componentes que no la original tensor de Una?

d. Cómo muchos de los componentes hace que el tensor de tener después de contrato en $i=j$? Creo que es pedir lo $A_{ik}^{i}$

Y estoy seguro acerca de las dos últimas preguntas, gracias por la ayuda!

Answer 1

$A^i_{jk}$ es una mezcla de tensor de rango 3 con 1 contravariante $i$ índice y 2 de la variante $j,k$ índices, teniendo en total $n$=3 índices y definido en un $m$=3 dimensiones del espacio.

una. Dado $A^i_{jk}=(i+j)k$, evaluar $A^i_{i2}$

Contratante de la primera contravariante (superior) y la primera covariante (inferior) términos: $A^i_{ik}=\sum_{i=1}^3(i+i)k=\sum_{i=1}^{n}2ik=2\frac{n(n+1)}2k$

Para un 3 dimensiones del espacio, $n=3$ (por supuesto, la fórmula de la suma es redundante en este caso): $A^i_{ik}=12k$

La operación se reduce el rango de 3 a rango 3-2=1, un vector. El segundo componente de este vector, $k=2$$A^i_{i2}=24$.

b. Contratante de la primera contravariante (superior) y la segunda covariante (inferior) de los términos (el contratado índice variable dummy):

$A^i_{ji}=\sum_{i=1}^3(i+j)i=\sum_{i=1}^3 i^2+ij=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}{2}j$

De nuevo, para $n=3$, $A^i_{ji}=20j$.

La operación se reduce el rango de 3 a rango 3-2=1, un vector, como se esperaba. El tercer componente de nuestro nuevo vector $j=3$$A^i_{3i}=60$.

c. En un $m$ dimensiones del espacio, por un escalar tiene 1 componente (rango 0), un vector tiene 3 componentes (rango 1), una matriz de 9 componentes (rango 2), y en nuestro caso, el mixto (1,2), 3 rango del tensor se han $m^n=3^3=27$ componentes. En un cartesiano ver, esto es como una matricial cubo.

d. Un índice de contracción es la operación de equiparar uno contravariante (superior) en el índice, con una variante (inferior) índice, hance reducir el rango del tensor por dos, y sumando el resultado de los componentes. En un escalar, no es significativo, lo que significa la identidad; en un vector, no es sólo el primer componente; en una matriz, el valor resultante es el de seguimiento.

En nuestro caso (tanto anterior. y b. de los casos sin tener un componente específico), la operación se entiende como una generalización de la traza para el reúso de los índices, la reducción de rango 3 en el rango 1, un vector, como se muestra, por lo tanto, en ese caso el resultado es un vector con $m^1=3$ componentes.