En el capítulo 4 del Manual de Categórico Álgebra, vol 1, el autor define un "subobjeto de $A$" como "una clase de equivalencia de monomorphisms con codominio $A$" (para una adecuada noción de equivalencia). Luego define lo que significa para una categoría para estar bien alimentado: "$\mathcal{A}$ está bien alimentado cuando los subobjetos de todos los objetos que constituyen un conjunto". Así, por ejemplo, la categoría de conjuntos está bien alimentado.
Estoy teniendo problemas para entender exactamente lo que significa tener un conjunto de subobjetos. Como lo que yo puedo decir, cada elemento de un conjunto que debe ser también un conjunto, sino una clase de equivalencia de monomorphisms podría ser una clase adecuada: por ejemplo, la clase de singleton conjuntos no es un conjunto. Por otro lado, parece que uno puede engañar mediante la definición de un subobjeto a ser una clase que contiene un representante de cada clase de equivalencia de monomorphisms, aunque esto no es, estrictamente hablando, lo que se dice en el libro.
¿Cómo se puede resolver este problema? Hay un "normal" de la teoría de conjuntos, donde un conjunto de subobjetos puede contener adecuada clases? O hace falta engañar como se sugirió anteriormente?
