Una interesante serie que converge a una constante

Question

Deje$K>0$ ser una constante. Supongamos que$\{z_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia positiva no decreciente. Entonces la serie

ps

Este es un resultado bastante interesante ya que la serie es convergente y el límite no depende de la elección de$$\sum_{n=1}^\infty\frac{z_n}{(K+z_1)(K+z_2)\cdots(K+z_n)}K^n=K$, siempre que sea no decreciente y positivo.

He realizado simulaciones por computadora y este resultado parece ser válido. Sin embargo, no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

La serie se puede transformar en una serie telescópica de la siguiente manera:

$$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {z_n} {\ prod_ {j = 1} ^ n (K + z_j)} K ^ n = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty } \ left (\ frac {K ^ n} {\ prod_ {j = 1} ^ {n-1} (K + z_j)} - \ frac {K ^ {n +1}} {\ prod_ {j = 1 } ^ n (K + z_j)} \ right) = K $$

Answer 2

Considere la posibilidad de $S_n - K$:

$$ -K + \dfrac{z_1}{z_1 + K}K + \dfrac{z_2}{(z_1 + K)(z_2 + K)} K^2 + ... + \dfrac{z_n}{(z_1 + K)(z_2 + K)...(z_n + K)}K^n = $$

$$-\dfrac{1}{z_1 + K}K^2 + \dfrac{z_2}{(z_1 + K)(z_2 + K)} K^2 + ... + \dfrac{z_n}{(z_1 + K)(z_2 + K)...(z_n+K)}K^n = $$

$$- \dfrac{1}{(z_1 + K)(z_2 + K)} K^3 + ... + \dfrac{z_n}{(z_1 + K)(z_2 + K)...(z_n+K)}K^n$$

y mantener telescópico hasta llegar a

$$S_n - K = -\dfrac{1}{(z_1 + K)(z_2 + K)...(z_n+K)}K^n$$

Editar

Lo siento, se me fue interrumpido y omitir la parte más importante. Este delta podría reescribirse de la $- \prod\dfrac{1}{1 + \frac{z_i}{K}}$, que desaparece tan largo como $\prod (1+ \dfrac{z_i}{K})$ diverge a infinito.

Esto es equivalente a $\sum z_i$ a divergir; usted realmente no necesita la no disminución de la secuencia. Tan largo como la suma de sus partes se aleja, su observación se mantiene. Intente $z_i = \dfrac{1}{i}$, por ejemplo.