¿Por qué 1+1=0 en un campo finito F={0,1}?

Question

Esta mesa: $$\begin{array}{|c|cc|} \hline +& 0& 1\\ \hline 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ \hline \end{array}$$ "se siente" bien, pero ¿cómo puedes probar que $1+1=0$ ? ¿Cuál es la razón? Supongo que debido a $F \times F \rightarrow F$ el resultado de $1+1$ debe estar dentro del campo F después de todo.

Busco una explicación lógica.

Answer 1

Recordemos los dos axiomas sobre la suma:

1. Existe un único elemento $0$ tal que para cada $x$ , $x+0=x$ .
2. Para cada elemento $x$ existe un único elemento $y$ tal que $x+y=0$ .

Si $1+1=1$ tiene que ser el caso que $1+0=0$ . Pero en ese caso acabas de invertir los papeles de $0$ et $1$ como dictan los axiomas. Eso está bien, y sigue definiendo una estructura de grupo, pero es más fácil reetiquetarlos con los roles tradicionales, donde $0$ es la unidad aditiva.

Así que si $1+1\neq 1$ tiene que ser el caso de que $1+1=0$ .

Answer 2

Como campo finito, la ley de distribución debe mantenerse: La ley distributiva se cumple: (a+b) - c = a - c+b - c para todo a,b, c F. Se puede elegir 1 o 0.

Ahora, consideremos la lógica booleana. Usando el operador Or, entonces 1 es la respuesta correcta. 0,1,1,1 Si es Or exclusivo, entonces 0,1,1,0 (como tienes en tu tabla)