En el producto cuña de formas

Question

Las páginas 36 y 37 de Loring Tu la Introducción de Colectores dice:

La cuña producto de una $k$forma $\omega$ e una $l$forma $\tau$ sobre un conjunto abierto $U$ se define pointwise: $$(\omega\wedge \tau)_p=\omega_p\wedge \tau_p, \hspace{.75cm} p\in U. $$ En términos de coordenadas, si $\omega=\sum_I a_Idx^I$$\tau=\sum_J b_J dx^J$, luego $$\omega \wedge \tau=\sum_{I,J}(a_Ib_J)dx^I\wedge dx^J\tag{$\ast$}.$$ En esta suma, si $I$ $J$ no son disjuntas en el lado derecho, a continuación, $dx^I\wedge dx^J=0.$ por lo tanto, la suma es en realidad más desunido multi-índices: $$ \omega\wedge\tau=\sum_{I,J\text{ disjoint}}(a_Ib_J)dx^I\wedge dx^J, $$ lo que demuestra que el producto exterior de dos $C^\infty$ formas es $C^\infty$.

Aquí, se utiliza el capitolio cartas de $I$ $J$ para denotar estrictamente creciente de conjuntos de índices de $I=(i_1<\dots<i_k)$ $J=(j_1<\dots<j_l)$ de las longitudes $k$$l$, respectivamente, del conjunto de índices de $\{1,\dots,n\}$. Así, por ejemplo, $dx^I=dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}$ donde $i_1,\dots,i_k\in \{1,\dots,n\}$.

Mi pregunta es en la ecuación de $(\ast)$. Esencialmente, ¿por qué tiene sentido que el pointwise cuña producto de $\omega$ $\tau$ los rendimientos de la ecuación en $(\ast)$? Entiendo la última parte del texto de arriba, y yo soy capaz de utilizar la definición de $\omega\wedge \tau$ $(\ast)$ a calcular un ejemplo específico dado en los ejercicios. Pero, ¿cómo llegar a esta ecuación mediante la definición de la cuña producto de $\omega$ $\tau$ pointwise?

Answer 1

Supongo que voy a responder a mi propia pregunta ya que creo que he descubierto. Se trata del hecho de que las funciones de $a_I$ $b_J$ son técnicamente 0-formas. Luego usamos las propiedades algebraicas de la cuña del producto y de la mirada a lo que esas propiedades algebraicas nos dicen cuando una 0-forma está implicado.

En primer lugar, por la anticommutativity de $\wedge$, que dice que para que un $k$forma $f$ e una $\ell$forma $g$ $$f\wedge g=(-1)^{k\ell}g\wedge f.$$ Así que, por una 0-forma $f$ e una $\ell$forma $g$, obtenemos $f\wedge g=(-1)^{0\cdot \ell} g\wedge f=g\wedge f$.

Segundo, Tu comentarios en la página 37 para que la cuña producto de una 0-forma $f$ e una $\ell$forma $\omega$ es en realidad, regular la multiplicación; es $f\wedge \omega=f\omega$. Así, en un punto de $p$ tenemos $(f\wedge\omega)_p=f(p)\omega_p$.

Por lo tanto, si suponemos por un momento que $\omega=a_Idx^I$$\tau=b_J dx^J$, entonces podemos ver esto como $\omega=a_I\wedge dx^I$$\tau=b_J\wedge dx^J$. Entonces $$ \omega\wedge \tau=a_I\wedge dx^I\wedge b_J\wedge dx^J=a_I\wedge b_J\wedge dx^I\wedge dx^J=(a_Ib_J)\wedge dx^I\wedge dx^J=(a_Ib_J) dx^I\wedge dx^J. $$ He aquí un ejemplo: En el Problema de la 4.3 en el final de la sección, se nos pide calcular $dx\wedge dy$ donde$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$. Obtenemos: $$ dx=\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\parcial \theta}d\theta \\ dy=\frac{\partial y}{\partial r}dr+\frac{\partial y}{\parcial \theta}d\theta, $$ y así $$ dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta, \\ dy=sin\theta dr+r\cos\theta d\theta. $$ Recuerde que hay un $\wedge$ entre un 0 y un 1-forma; es decir, $\frac{\partial x}{\partial r}dr=\frac{\partial x}{\partial r}\wedge dr$. Ahora, \begin{align*} dx\wedge dy&= \left(\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta\right)\wedge\left(\frac{\partial y}{\partial r}dr+\frac{\partial y}{\partial \theta}d\theta\right)\\ &= \left(\frac{\partial x}{\partial r}dr\wedge \frac{\partial y}{\partial r}dr\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial r}dr\wedge \frac{\partial y}{\partial\theta}d\theta\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}d\theta\wedge\frac{\partial y}{\partial r}dr\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta\wedge \frac{\partial y}{\partial\theta}d\theta\right)\\ &= \left(\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial r}dr\wedge dr\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial\theta}dr\wedge d\theta\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial y}{\partial r}d\theta\wedge dr\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial\theta}d\theta\wedge d\theta\right)\\ &=0+\left(\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial\theta}dr\wedge d\theta\right) +\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial y}{\partial r}d\theta\wedge dr\right)+0\\ &=r dr\wedge d\theta. \end{align*} El primer signo de igualdad es, por definición; el segundo es debido a $\wedge$ es distributiva sobre la suma; la tercera es por la anticommutativity de $\wedge$, donde, por ejemplo, tenemos la $dr\wedge \frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial y}{\partial r}\wedge dr=\frac{\partial y}{\partial r}dr$ en el primer paréntesis; el cuarto signo igual es por el hecho de que $dr\wedge dr=0=d\theta\wedge d\theta$; el quinto signo igual sigue después de conectar los parciales y la simplificación.