El siguiente es un ejercicio de Stein Análisis Real (ex. 10 Capítulo 1). Sé que debería ser fácil, pero estoy un poco confundido en este punto, que consiste principalmente de proporcionar el Cantor de construcción para funciones continuas en el intervalo de $[0,1]$ cuyo pointwise límite no es Riemann integrable.
Por lo tanto, vamos a $C'$ ser un conjunto cerrado, de modo que en el $k$th etapa de la construcción se elimina $2^{k-1}$ encuentra abierto intervalos de cada uno de longitud $l^{k}$$l_{1}+\ldots+2^{k-1}l_{k}<1$; en particular, sabemos que la medida de $C'$ es estrictamente positivo. Ahora, vamos a $F_{1}$ denotar una pieza de sabios lineal y continua la función en $[0,1]$ $F_{1}=1$ en el complemento de la primera intervalo eliminado en la consutrction de $C'$, $F_{1}=0$ en el centro de este intervalo, y $0 \leq F_{1}(x) \leq 1$ todos los $x$. Del mismo modo, la construcción de la $F_{2}=1$ en el complemento de los intervalos en la segunda etapa de la construcción de la $C'$, $F_{2}=0$ en el centro de estos intervalos, y $0 \leq F_{2} \leq 1$, y así sucesivamente, y deje $f_{n}=F_{1}\cdot \ldots F_{n}$.
Ahora, obviamente $f_{n}(x)$ converge a un límite de decir $f(x)$ ya que es decreciente y acotada y $f(x)=1$ si $x \in C'$; por lo que en el fin de mostrar que $f$ es discontinua en todos los puntos de $C'$, uno debe mostrar que hay una secuencia de puntos de $x_{n}$, de modo que $x_{n} \rightarrow x$$f(x_{n})=0$; yo no puedo ver esto, por lo que cualquier ayuda es bienvenida, muchas gracias!
