¿Cómo resolver una recurrencia lineal no homogénea de segundo orden?

Question

Tengo un problema para resolver esta ecuación:

$x_{n+2} + 3\ x_{n+1} + 2\ x_{n} = 5 \times 3^n$

dado que$x_{0} = 0$ y$x_{1} = 1$.

Resolví la ecuación homogénea asociada y obtuve$v_{n} = c_{1} \times (-1)^{n} + c_{2} \times (-2)^{n}$ (donde$c_{1}$ y$c_{2}$ son constantes). ¿Podría alguien explicar el método general para resolver la recurrencia lineal no homogénea de segundo orden?

Answer 1

Bien, necesitas encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea, y los rh sugieren que algo de la forma$c(n)3^n$ debería funcionar. La forma más simple de$c$ es una constante, así que inténtalo. Si funciona, eres dorado, si no, prueba una función lineal, etc., luego agrega la solución homogénea y estás bien.

Answer 2

Acabo de encontrar la solución. Este no es un método general, sino algo de heurística. Puede ser de alguna manera lo ayudará a encontrar algunas soluciones en casos simples. Yo uso el método de coeficientes indeterminados. Supongo que debería ser $$x_n=c3^n+d(-1)^n,$$ for some real constants $c, d$. Now, calculation of $c, d$ es muy simple. También tenemos $$x_{n+1}=3c3^n-d(-1)^n$$$ $x_{n+2}=9c3^n+d(-1)^n,$ $así que:$$x_{n+2}+3x_{n+1}+2x_n=9c3^n+d(-1)^n+ 9c3^n-3d(-1)^n+2c3^n+2d(-1)^n=20c3^{n}$ $De la repetición debe ser:$$20c3^{n}=5.3^n,$$so:$ c = \ frac {1} {4} $. Ahora sabemos que$$\frac{3^n}{4}+d(-1)^n$$satisfies your recurrence. And because$ x_0 = 0$, we must have$ d = - \ frac14 $. Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado:$$x_n=\frac{3^n}{4}-\frac{(-1)^n}4.$ $

Answer 3

Uso de funciones generatrices directamente. Definir $G(z) = \sum_{n \ge 0} x_n z^n$, multiplicar por $z^n$ y suma $n \ge 0$, reconocer algunas sumas: $\frac{G(z) - x_0 - x_1 z} {z ^ 2} + 3 \frac{G(z) - x_0} {z} + 2 g = 5 \frac{1}{1 - 3 z}$$como fracciones parciales:$$A(z) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - z 3}-\frac{1}{4} {\cdot \frac} 1} {1 + z}$$todo a la vista es a serie geométrica;$$a_n = \frac{3^n - (-1) ^ n} {4}$$