Allí isn ' t una operación producto que se commmutative en $\mathbb{R}^{n}$ que satisface todos los axiomas de campo $n \geq 3$.

Question

Esta prueba se divide en simple y fácil de álgebra y vector de preguntas. Me gustaría discutir las diferentes respuestas y enfoques.

Por favor ver la página 162 y 163 en los libros.google.ca/books?isbn=0387290524

Hay 5 preguntas de 7.6.3 - 7.6.7. Usted puede leer el párrafo anterior 7.6.3. También puede leer la primera parte en quarternions. Excluir las "rotaciones de ijk espacio de la sección.

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Aquí es lo que he intentado.

P1: he utilizado el Teorema de Pitágoras para obtener la norma igual a $\sqrt{2}$. Luego usé la propiedad $\text{Norm}(uv) = \text{Norm}(u) \text{Norm}(v)$ que $2 = \text{Norm}(1 - i^{2})$. Estoy en lo cierto?

P2: he usado la propiedad $\text{Norm}(uv) = \text{Norm}(u) \text{Norm}(v)$ desde $\text{Norm}(i) = 1$. Pero no sé cómo mostrar $i^{2} = -1$. Uno le dice a utilizar el Triángulo de la Desigualdad. Supongo que la igualdad implica que $i^{2}$ $1$ son colineales.

P3: Y por lo tanto no sé cómo hacerlo.

T4: El mapa de $p \longmapsto pi$ multiplica todas las distancias en $\mathbb{R}^{n}$$|i| = 1$, ya que el $|pi| = |p||i|$. Para cualquiera de los puntos de $p_{1}$ $p_{2}$ en $\mathbb{R}^{n}$, $|p_{1} * i - p_{2} * i| = |(p_{1} - p_{2})i| = |p_{1} - p_{2}||i|$. Por lo tanto, la distancia $|p_{1} - p_{2}|$ entre cualquier dos puntos se multiplica por $|i| = 1$. Por lo tanto, el mapa es una isometría de $\mathbb{R}^{n}$. Por lo tanto, desde el $i$ $j$ son direcciones perpendiculares, $i * i$ $i * j$ se mantiene perpendicular por la isometría. (Una isometría conserva la distancia entre los puntos.)

Todavía no sé por qué $\mathbf{1}$ $ij$ son perpendiculares.

P5: De $jiij= j i^{2} j = jj i^{2} = j^{2} i^{2} = - \mathbf{1} * - \mathbf{1} = \mathbf{1}$, por lo $1 = -1$, lo cual es una contradicción.

Answer 1

Cada finito-dimensional asociativa de la división de álgebra sobre los números reales es isomorfo a los reales, los números complejos, o los cuaterniones, por un teorema de Frobenius. Una prueba está aquí.

EDIT: tal vez de una forma más simple sería la referencia Kenneth O'Mayo, La imposibilidad de una división de álgebra de vectores en el espacio tridimensional, La American Mathematical Monthly, Vol. 73, Nº 3, Mar., 1966, páginas 289 a 291. No sé si este es de libre acceso en la web, pero las bibliotecas deben tener acceso o ser capaz de obtener acceso.

Answer 2

Aquí es un campo de la teoría del hecho de que yo lo tengo como en la (avanzado) nivel de pregrado:

Hecho: Vamos a $F$ ser un campo, vamos a $K/F$ ser un número finito de grados de extensión de campo, y vamos a $\overline{F}$ ser un algebraicamente cerrado extensión de $F$. Luego hay un homomorphism $\varphi: K \rightarrow \overline{F}$ tal que $\varphi(x) = x$ todos los $x \in F$.

(Prueba: $K/F$ puede ser descompuesto en una torre de simples extensiones, así que por inducción es suficiente para asumir que $K/F$ es simple, es decir, $K = F[t]/(f(t))$ para un polinomio irreducible $f$. Desde $\overline{F}$ es algebraicamente cerrado, $f(t)$ tiene una raíz, decir $\alpha$,$\overline{F}$, y, a continuación, envío de $p(t) \in F[t] \mapsto p(\alpha)$ da un homomorphism $F[t] \rightarrow \overline{F}$ con kernel $(f(t))$, por lo que induce un campo incrustación $\varphi: K \rightarrow \overline{F}$ tal que $\varphi(x) = x$ todos los $x \in F$.)

El uso de este hecho, la afirmación de que para todos los $n \geq 3$ no es $\mathbb{R}$-álgebra estructura en $\mathbb{R}^n$, lo que la convierte en un campo que se considera equivalente a el Teorema Fundamental del Álgebra: $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado. De hecho, si $\mathbb{C}$ no algebraicamente cerrado no admitiría una extensión finita $K/\mathbb{C}$ grado $d > 1$, y, a continuación, $K/\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- álgebra de dimensión $2d > 2$ que es un campo. El hecho de arriba muestra lo contrario: cualquier finito grado de extensión de campo $K/\mathbb{R}$ debe incrustar en el algebraicamente cerrado campo de $\mathbb{C}$, dando una torre de $\mathbb{C}/K/\mathbb{R}$. La comparación de grados da $K = \mathbb{R}$ o $K = \mathbb{C}$.

Puesto que hay muchos de pregrado nivel de pruebas del Teorema Fundamental del Álgebra -- mi favorito utiliza un poco de Galois de la teoría y de la teoría de Sylow para establecer una más general, puramente campo de la teoría de resultado: ver la implicación (ii) $\implies$ (iii) en el Grand Artin-Schreier Teorema en estas notas -- esta reducción sirve para dar un nivel de licenciatura de la prueba del teorema en la mano. (Tenga en cuenta también que la prueba de la -- más profundo, diría yo -- teorema de Frobenius que Gerry Myerson la cites también utiliza el Teorema Fundamental del Álgebra.)

Este argumento también muestra que si se desea clasificar el grado finito campo extensiones de $\mathbb{R}$, usted tiene que demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra, que ciertamente no es trivial y es, hasta donde yo sé, no es susceptible de una prueba utilizando sólo las herramientas de pre-cálculo, primaria vector de la geometría y la única variable de cálculo. La OP es una pregunta un poco más débil que esto, ya que también postula una multiplicativo norma en el campo. Por desgracia, yo no entendía exactamente qué propiedades de la norma el OP quiere asumir: simplemente asumiendo $|xy| = |x| |y|$ $|1| = 1$ en un finito-dimensional de extensión de campo de $\mathbb{R}$ no es suficiente para implicar, por ejemplo, que el $|1+i| = \sqrt{2}$: tal vez la norma mapas de cada elemento de a $1$! Así que para mí es más sencillo pasar por alto la norma en su totalidad.

Answer 3

Aquí es un atajo posible.

Desde Q1 y Q2, se tiene un elemento $i$ tal que $i^2=-1$.

Así $\mathbb{R}^n$ contiene una copia isomorfa de $\mathbb{C}$.

Por lo tanto, $\mathbb{R}^n$ es una extensión finita de $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ Es algebraicamente cerrado, es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}$. Y $n=2$.