¿$\exists n : 6 + \sum_{i=2}^n p_i = x^6+y^6$ $p_i$ El primer de $i^{\text{th}}$ y $x,y\in\mathbb{Z}$?

Question

Me di cuenta de algo acerca de los números primos:

Elija el número de $2$. A continuación, agregue el primer impar prime, es decir,$3$. El resultado es $5 = 1^2+2^2$. Observe que los exponentes son también el número que eligió.

Elija el número de $4$. Agregar el primer impar primo, luego la segunda, y la tercera, todo el camino hasta el $71$. De ello se desprende que $$4+3+5+\cdots + 67+71=5^4 + 2^4.$$

No puedo encontrar un número $n$ tales que la suma de todos los $n$ impares primos juntos, y, a continuación, agregue $6$ (el siguiente número de$4$), entonces el resultado es $x^6+y^6$$x,y\in\mathbb{Z}$. ¿Existe un número $n$ para este caso específico? Hay más matemático manera de averiguar como contraposición a la fuerza bruta?

Gracias de antemano.

Answer 1

De forma heurística: hay aproximadamente $\Theta(\sqrt[3]{n})$ números de $\leq n$ que son la suma de dos sexta poderes. (Esto es porque no se $\Theta(\sqrt[6]{n})$ sexto poderes menos de $n$ y estamos mirando el tamaño del conjunto $S_{6,2}=\{x+y: x\in S_6, y\in S_6\}$ donde $S_6$ es el conjunto de sexto poderes; genéricamente, debemos esperar que si definimos $S_2=\{x+y: x, y\in S\}$ $S$ es escasa suficiente, a continuación, $|S_2|$ tendrá el tamaño de la $\Theta(|S|^2)$, y esto puede ser de manera rigurosa.) Esto significa que podemos pensar de la 'probabilidad' de que un número al azar de tamaño $\approx N$ es una suma de dos cuadrados como aproximadamente $\Theta(N^{-2/3})$.

Ahora, el tamaño de la $n$th prime es aproximadamente $n\log n$, por lo que la suma de la primera $n$ de los números primos es aproximadamente el $\Theta(n^2\log n)$ (tenga en cuenta que el plazo inicial de $6$ no afecta a estos asymptotics en todos). Por lo tanto, el uso de la probabilidad de la estimación anterior, la probabilidad de que esta es la suma de dos sexta poderes es $\Theta\left((n^2\log n)^{-2/3}\right)$ o $\Theta\left(n^{-4/3}(\log n)^{-2/3}\right)$. Ahora, por la linealidad de espera, el número total de soluciones debe ser la suma de esta probabilidad sobre todos los posibles $n$; en otras palabras, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ donde $a_n\in\Theta\left(n^{-4/3}(\log n)^{-2/3}\right)$. Pero por la costumbre $p$-serie comparación, sería de esperar que esta serie converge; en otras palabras, se "debe" esperar sólo un número finito de soluciones en total. Esto sugiere que el número finito podría ser cero, por lo que es muy posible que usted no encontrará ninguna solución.

(Tenga en cuenta que la ejecución de la misma asintótica heurística en el caso de la cuarta poderes de los rendimientos de la probabilidad de que el $n$th primer suma es una suma de cuarto de poderes aproximadamente el $\Theta\left((n^2\log n)^{-1/2}\right)$ o $\Theta\left(n^{-1}(\log n)^{-1/2}\right)$, y, a continuación, la correspondiente suma de todos los $n$ diverge, por lo que debemos esperar infinitamente muchos ejemplos).

Answer 2

Echemos un vistazo a algunas heurísticas.

Recoger algunas de x y de y. A continuación, empezar con seis, añadir números primos consecutivos, hasta que la suma sea ≥ $x^6 + y^6$. En otras palabras, 6 + suma de los impares, números primos hasta el $p_{i-1}$ es de menos de $x^6 + y^6$, y la adición de 6 + suma de los impares, números primos hasta el $p_i$ es ≥ $x^6 + y^6$.

Deje que d = (6 + suma de los impares, números primos hasta $p_i$) - $(x^6 + y^6)$. Obviamente $0 ≤ d < p_i$, y tenemos una solución si d = 0. De forma heurística, suponemos que d podría ser cualquiera de los números de 0 a $p_i - 1$, con igual probabilidad $1 / p_i$.

Deje $z = x^6 + y^6$. El i-ésimo primo es muy aproximadamente igual a $i · log i$, la suma de los primeros que de los números primos es bastante aproximadamente el $i^2 · log i / 2$, lo que hace que $i^2 · log i ≈ 2z$, $i ≈ 2 (z / log z)^{1/2}$, $p_i ≈ (z · log z)^{1/2}$.

La posibilidad de que hay una solución para x, y es acerca de $1 / (z · log z)^{1/2}$. Suponiendo que x ≥ y, esto es acerca de la $1 / (x^3 · (6 log x)^{1/2})$. Si añadimos a esto para $0 ≤ y ≤ x$, la suma es de alrededor de $1 / (x^2 · (6 log x)^{1/2})$. La suma de $1 / x^2$ es sólo π / 6, esta suma es menor, quizás 1/4.

Un programa que comprueba todos los casos con x ≤ 100 y, por tanto, $z < 2·10^{12}$ es factible y tiene una oportunidad de encontrar una solución (estimación aproximada del 25%). Por encima de que es muy posible de que existe una solución, pero sería raro (yo diría que la probabilidad acerca de 0,17%), y una solución sería difícil de encontrar.

Si examinamos todos los casos hasta x ≤ 10,000, que sería una ridícula cantidad de trabajo (encontrar todos los números primos hasta el $2·10^{24}$), y la posibilidad de que aún echaba de menos una solución todavía es de 0.0003%.

Así que una búsqueda por fuerza bruta la adición de los números primos hasta el $2·10^{12}$ tiene una probabilidad razonable de encontrar una solución. Pero incluso si el proceso de todos los números primos hasta el $2·10^{24}$, todavía hay un no-imperceptible posibilidad de que haya una solución.