Resolver el sistema de $ x \lfloor y \rfloor = 7 $$ y \lfloor x \rfloor = 8 $.

Question

Resolver el siguiente sistema de $ x,y \in \mathbb{R} $: \begin{align} x \lfloor y \rfloor & = 7, \\ y \lfloor x \rfloor & = 8. \end{align}

Se podría reducir a una variable, pero no es así de simple.

Otra idea es la sustitución, pero lo que no me llevan a ninguna parte.

Esto fue tomado de una competición, y es complicado.

Por lo que he notado, en los sistemas con dos o más variables que involucran mayor "entero" de la función son raramente vistos, probablemente muy difícil de analizar...

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Esto se obtuvo con la ayuda de Wolfram Alpha: (I intercambiado lugares de 7 y 8 por error, por lo que no es exactamente el mismo sistema; de todos modos, la respuesta no debe confiar en herramientas de software, por supuesto)

Answer 1

Reformular: Vamos a $a,b \in [0,1)$$m,n \in \mathbb Z$. Resolver $$(m+a)n = 7\\ (n+b)m = 8$$ Reordenamiento da $$nm = 8 - bm = 7 - an$$ El producto de la izquierda es un entero, así que ya sabemos que $bm, an\in \mathbb Z$ o en otras palabras $$a = \frac kn; \quad b = \frac lm$$ Con $k,l\in\mathbb Z$. Sustituyendo esto nos da la espalda $$mn = 8-l = 7-k$$ La eliminación de $l = k + 1$ así que llegar a una solución mediante la resolución de la ecuación entero $$mn = 7-k; \quad k < \min(n, m-1)$$ Eligió $k=1,m=3,n=2$ y consigue $l=2$ y, finalmente, $$x = m + a = m + \frac kn = 3 + \frac12 = \frac 72\\ y = n + b = n + \frac lm = 2 + \frac 23 = \frac 83$$

Gracias a @Berrick Fillmore para el conjunto completo de soluciones obtenidas a partir de la última del sistema:

$$\left\{ \left( 7,\frac{8}{7} \right), \left( \frac{7}{2},\frac{8}{3} \right), \left( - \frac{7}{8},-8 \right), \left( - \frac{7}{4},-4 \right), \left( - \frac{7}{3},- \frac{8}{3} \right), \left( - \frac{7}{2},-2 \right) \right\}$$

Answer 2

Nota: Aquí se utiliza la siguiente caracterización de la función del suelo \begin{align*} \lfloor x\rfloor = p\qquad \text{ with } \qquad p \leq x < p+1, \quad p\in \mathbb Z \end{align*} Podemos utilizar esta relación para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema de desigualdades que pueden ser fácilmente analizados.

Deje $x,y \in \mathbb{R}$. El sistema de ecuaciones \begin{align*} x \lfloor y \rfloor & = 7 \tag{1}\\ y \lfloor x \rfloor & = 8 \end{align*} es equivalente con \begin{align*} x p & = 7 \qquad \text{ and }\qquad p\leq y < p+1, \quad p\in \mathbb{Z}\\ y q & = 8 \qquad \text{ and }\qquad q\leq x < q+1, \quad q\in \mathbb{Z} \end{align*} Sustituimos $x=\frac{7}{p}$ $y=\frac{8}{q}$ y se obtiene el siguiente sistema de desigualdades con $p,q\in \mathbb{Z}$ \begin{align*} p\leq \frac{8}{q} < p+1\tag{2}\\ q\leq \frac{7}{p} < q+1\tag{3} \end{align*}

Tenga en cuenta que las dos desigualdades son equivalentes con las dos ecuaciones en (1).

Actualmente estamos buscando para un entero soluciones de estas desigualdades. Primero vemos a partir de (1)$x\neq 0$$y\neq 0$. Entonces se deduce de (2) que tanto $p$ $q$ son mayores de cero o ambos están a menos de cero.

Primer paso: $p,q>0$

Desde $q > 0$ llegamos a la conclusión de (3) $1\leq p \leq 7$ y obtenemos

\begin{align*} p=1 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &\frac{7}{1}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=7\\ p=2 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &\frac{7}{2}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=3\\ p=3 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &\frac{7}{3}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=2\\ p=4 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &\frac{7}{4}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=1\\ &\ldots\\ p=7 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &\frac{7}{7}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=1\\ \end{align*}

La comprobación de estos pares de $(p,q)$ en la desigualdad (2) vemos que sólo $p=1$ $p=2$ son válidos.

\begin{align*} (p,q)=(1,7) \qquad \rightarrow \qquad 1\leq \frac{8}{7} < 2\tag{4}\\ (p,q)=(2,3) \qquad \rightarrow \qquad 2\leq \frac{8}{3} < 3\\ \end{align*}

Desde $x=\frac{7}{p}$ $y=\frac{8}{q}$ podemos obtener a partir de (4) las soluciones positivas $x,y$ \begin{align*} A=\left\{\left(7,\frac{8}{7}\right),\left(\frac{7}{2},\frac{8}{3}\right)\right\} \end{align*}

$$ $$

Segundo paso: $p,q<0$

Primero nos tenga en cuenta, que si $p<-7$ se sigue de (3)$q=-1$. Poner a $q=-1$ en (2) obtenemos $p\leq -8<p+1$ $p=-8$ sigue.

Llegamos a la conclusión de que en el caso de $p<-7$ $(p,q)=(-8,-1)$ es una solución válida.

Luego consideraremos $-7 \leq p \leq -1$ similar a la de arriba

\begin{align*} p=-1 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &-\frac{7}{1}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=-7\\ p=-2 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &-\frac{7}{2}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=-4\\ p=-3 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &-\frac{7}{3}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=-3\\ p=-4 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &-\frac{7}{4}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=-2\\ &\ldots\\ p=-7 \qquad \rightarrow \qquad q\leq &-\frac{7}{7}<q+1 \qquad \rightarrow \qquad q=-1\\ \end{align*}

La comprobación de estos siete pares de $(p,q)$ (2) muestra que los siguientes tres pares son válidos \begin{align*} (p,q)=(-2,-4)\qquad\Rightarrow\qquad -2\leq- \frac{8}{4}<-1\\ (p,q)=(-3,-3)\qquad\Rightarrow\qquad -3\leq- \frac{8}{3}<-2\\ (p,q)=(-4,-2)\qquad\Rightarrow\qquad -4\leq- \frac{8}{2}<-3\\ \end{align*}

Junto con $(-8,-1)$ que se derivan de $x=\frac{7}{p}$ $y=\frac{8}{q}$ el siguiente $(x,y)$ parejas con las soluciones negativas \begin{align*} B=\left\{\left(-\frac{7}{2},-2\right),\left(-\frac{7}{3},-\frac{8}{3}\right),\left(-\frac{7}{4},-4\right),\left(-\frac{7}{8},-8\right)\right\} \end{align*}

Tenga en cuenta que $A\cup B$ coincide con la solución de @AlexR.

Answer 3

La combinación de las ecuaciones también pueden funcionar. La eliminación de $x$: $$y\left\lfloor\frac{7}{\left\lfloor y\right\rfloor}\right\rfloor=8\text{.}$$

En esta ecuación, usted está tomando el piso de un número racional con $7$ como su numerador. Si $y$ es grande en valor absoluto ($8$ o mayor, o menor que $-6$), $\left\lfloor\frac{7}{\left\lfloor y\right\rfloor}\right\rfloor$ será $0$ o $-1$. De modo que las hojas $y\in[-6,8)$. De curso $y$ no puede ser en $[0,1)$ o de la primera ecuación original es falsa.

Para $y\in[-6,0)\cup[1,8)$, y los posibles valores de $\left\lfloor y\right\rfloor$$\{-6,-5,\ldots,-1\}\cup\{1,2,\ldots,7\}$.

Se ejecuta a través de estos, los valores de $\left\lfloor\frac{7}{\left\lfloor y\right\rfloor}\right\rfloor$ sólo puede ser $\{-2,-3,-4,-7,7,3,2,1\}$. Así que todo junto con el anterior, señaló $0$ y $-1$, $\left\lfloor\frac{7}{\left\lfloor y\right\rfloor}\right\rfloor$ sólo puede tomar los valores de $$\{-7,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,7\}\text{.}$$

Poner estos valores en $$y=\frac{8}{\left\lfloor\frac{7}{\left\lfloor y\right\rfloor}\right\rfloor}$$ to determine that $$y\in\left\{-\frac87,-2,-\frac83,-4,-8,8,4,\frac83,\frac87\right\}$$ Desde $x=\frac{7}{\lfloor y\rfloor}$, esto corresponde a $$x\in\left\{-\frac72,-\frac72,-\frac73,-\frac74,-\frac78,\frac78,\frac74,\frac72,7\right\}$$ Out of these 9 possible solution pairs, checking each against the original two equations reveals that six are in fact solutions. The pairs that fail are $(-7/2,-8/7), (7/8,8)$, and $(7/4,4)$. So the solutions are $$\left\{\left(-\frac72,-2\right),\left(-\frac73,-\frac83\right),\left(-\frac74,-4\right),\left(-\frac78,-8\right),\left(\frac72,\frac83\right),\left(7,\frac87\right)\right\}$$

Answer 4

Vamos $x=m+\xi$, $y=n+\eta$ con $m$, $n\in{\mathbb Z}$, y $\xi$, $\eta\in[0,1[\ $. Entonces tenemos que solucionar $$(m+\xi)\>n=7,\qquad(n+\eta)\>m=8\ .\tag{1}$$ (i) Si $m\geq1$, $n\geq1$ a continuación, $(1)$ implica $$m=\left\lfloor{7\over n}\right\rfloor,\qquad n=\left\lfloor{8\over m}\right\rfloor\ .\tag{2}$$ The following table contains in the first row possible values of $n$, in the second row the resulting values of $m$ according to $(2_1)$, and in the third row the resulting values of $n$ according to $(2_2)$: $$\matriz{ n&&1&2&3&4&5&6&7&\geq8 \cr m:={\displaystyle\left\lfloor{7\sobre n}\right\rfloor} &&7&3&2&1&1&1&1&0\cr {\displaystyle\left\lfloor{8\sobre m}\right\rfloor} &&1&2&4&8&8&8&8&-\cr}$$ Un valor de $n$ en la primera fila es utilizable si la entrada correspondiente en la tercera fila coincide con $n$. Esto lleva a la superficie útil de pares $(m,n)\in\bigl\{(7,1), (3,2)\bigr\}$, de los cuales se calcula que los candidatos $$(x,y)\in\left\{\left(7,{8\over7}\right), \left({7\over2},{8\over3}\right)\right\}\ .$$ (ii) Si $m':=-m\geq1$, $n':=-n\geq1$ a continuación, $(1)$ implica $$(m'-\xi)\>n'=7,\qquad (n'-\eta)\>m'=8\ ,$$ o $$n'=\left\lceil{8\over m'}\right\rceil,\qquad m'=\left\lceil{7\over n'}\right\rceil\ .\tag{3}$$ La tabla siguiente contiene en la primera fila de los posibles valores de $m'$, en la segunda fila los valores resultantes de $n'$ según $(3_1)$, y en la tercera fila los valores resultantes de $m'$ según $(3_2)$: $$\matriz{ m' &&1&2&3&4&5&6&7&\geq8 \cr n':={\displaystyle\left\lceil{8\sobre m'}\right\rceil} &&8&4&3&2&2&2&2&1\cr {\displaystyle\left\lceil{7\sobre n'}\right\rceil} &&1&2&3&4&4&4&4&7\cr}$$ Un valor de $m'$ en la primera fila es utilizable si la entrada correspondiente en la tercera fila coincide con $m'$. Esto lleva a la superficie útil de pares $(m',n')\in\bigl\{(1,8), (2,4),(3,3),(4,2)\bigr\}$, de los cuales se calcula que los candidatos $$(x,y)\in\left\{\left(-{7\over8},-8\right), \left(-{7\over4},-4\right),\left(-{7\over3},-{8\over3}\right),\left(-{7\over2},-2\right)\right\}\ .$$ Queda por comprobar que todos los seis candidatos pares de $(x,y)$ que hemos encontrado, de hecho, satisfacer las ecuaciones originales.