Evaluar

Question

¿Cuál es la forma más fácil de evaluar$$\int_{|z| = 4} {{e^z - e^{-z}}\over{z^4}}\,dz?$ $? Aquí, estamos atravesando el círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ f (z) = \ frac {\ mathrm {e} ^ z- \ mathrm {e} ^ {- z}} {z ^ 4} = \ sum_ {k = -3} ^ \ infty c_kz ^ k, $$ donde $$ c _ {- 1} = \ frac {1} {3} $$ y por lo tanto $$ \ int _ {\ lvert z \ rvert = 4} f (z) \, dz = 2 \ pi i c _ {- 1} = \ ldots $$

Answer 2

Serie de energía (aproximadamente cero, por supuesto) propuesto por David Ullrich parece ser el camino más corto y más fácil a seguir:

$$\frac1{z^4}\left(e^z-e^{-z}\right)=\frac1{z^4}\left(1+z+\frac{z^2}2+\frac{z^3}6+\ldots-\left(1-z+\frac{z^2}2-\frac{z^3}6+\ldots\right)\right)=$$

$$\frac1{z^4}\left(2z+\frac{z^3}3+\ldots\right)=\frac1{z^3}+\frac1{3z}+\ldots$$