Probar si la suma de $3$ números $\geq 3$entonces al menos uno de ellos debe ser $\geq 1$

Question

Estoy ayudando a un amigo que parece que no puede obtener estas pruebas; por desgracia, no puedo encontrarlos. Alguien me puede decir como solucionar esto o me apunte en la dirección correcta con los recursos?

Pregunta 1:

Demostrar que para todos los números reales x, y y z, si x + y + z mayor o igual a 3, entonces x es mayor o igual a 1 o y mayor o igual a 1 o z mayor o igual a 1.

$$\forall x,y,z\in \mathbb R, \quad x+y+z \geq 3 \implies x \geq 1 \lor y \geq 1 \lor z\geq1 $$

Pregunta 2:

Demostrar que para todos los números reales x y y, si xy menor o igual a 2, entonces x menor o igual a la raíz cuadrada de 2 o y menos que o igual a la raíz cuadrada de 2.

$$\forall x,y \in \mathbb R,\quad xy \leq 2 \implies x \leq \sqrt 2 \lor y \leq \sqrt 2$$

Answer 1

Aquí hay tres maneras que usted puede elegir para demostrar condicionales (si-entonces). Hay otras maneras, pero estos son los más comunes.

Prueba Directa

Si $A$,$B$.

$(A \implies B)$

Suponga $A$ es cierto, entonces, muestran que cuando se $A$ es cierto que $B$ también debe ser cierto. Este parece que debería ser la forma más sencilla, pero que no es siempre el caso.

Contrapositivo

Si no $B$, entonces el no $A$.

$(\neg B \implies \neg A)$

Esto es cuando se supone que $B$ es falso, entonces, muestran que cuando se $B$ es falso, a continuación, $A$ también debe ser falsa. Esto funciona debido a que $(\neg B \implies \neg A)$ es lógicamente equivalente a $(A \implies B)$.

Contradicción

$A$ e no $B$.

$(A \land \neg B)$

Esto es cuando se supone que $A$ es verdad y que $B$ es falso. A continuación, seguir con el intento de demostrar que la suposición sólo para llegar a una contradicción, un absurdo en la prueba. Mostrando $(A \land \neg B)$ es una contradicción que usted ha hecho lo suficiente para demostrar que $(A \implies B)$, por lo que usted puede terminar su prueba.

Sé que esto es todo formal de la lógica simbólica, pero es muy útil en matemáticas de las pruebas. Espero que ayude.

Answer 2

Prueba 1.

Por contradicción, x = 1 o y > = 1 o z > = 1.

Prueba 2 puede hacerse de una manera similar.

Answer 3

$$(A\Rightarrow B) \equiv (\lnot B\Rightarrow\lnot A)$$

1. La declaración es equivalente a su contraposición: Si $xy $yy $z
2. Del mismo modo, usar contraposición.

Answer 4

La prueba de la parte 1: Vamos a $M$ ser el mayor valor de $x,y,z$ en la mayoría de los que hay 3 diferentes valores : $M,M-a,M-b$ donde $a,b \geq 0$.

Ahora la escritura $x+y+z \geq 3$ en términos de $M$ tenemos $$M+(M-a)+(M-b) \geq 3$$

$$3M-a-b \geq 3$$ $$3M \geq 3 +a + b$$ $$M \geq 1 + \frac {a}{3} + \frac{b}{3} \implies M \geq 1 $$ Since $a,b \geq 0 \implica \frac {a}{3} + \frac{b}{3}\geq0$ Puesto que M fue el máximo de $x,y,z$, entonces al menos uno de ellos $\geq 1 $ $$\square1$$

La prueba de la parte 2: Para la parte 2, tenemos : Deje $M$ ser el valor más bajo de $x,y$ en la mayoría de los que hay 2 diferentes valores de $M,M\alpha$ donde $\alpha \geq 1$

Ahora la escritura $xy \leq 2$ en términos de $M$ tenemos $$M(M\alpha)\leq 2$$
$$M^2\alpha\leq 2$$
$$M\leq \sqrt \frac{2}{\alpha}$$
Pero desde $\alpha \geq 1 \implies \frac{2}{\alpha} \leq 2$ hemos $$M \leq \sqrt \frac{2}{\alpha}\leq \sqrt 2$$
o simplemente $$M \leq \sqrt 2 $$ $$\square 2$$